CF1290E Cartesian Tree

一、题目

点此看题

二、解法

保留 \(\leq k\) 的数之后，考虑第 \(i\) 个数是作为极长段 \((l_i,r_i)\) 的最大值，那么答案是：

\[\sum_{i=1}^{k}r_i-l_i-1 \]

我们先考虑计算 \(A=\sum_{i=1}^kr_i\)，考虑在增大 \(k\) 时动态插入一个数，设其位置是 \(p\)：

• 对于位置在它后面的位置 \(j\)，\(r_j\) 会增加 \(1\)
• \(r_p=k+1\)
• 对于在它前面的位置 \(j\)，\(r_j\) 需要和 \(p\) 取 \(\min\)

所以我们的数据结构要支持区间加法、全局查询、单点修改、区间取 \(\min\)；显然可以用势能线段树，主要是涉及区间加法有点难，可以先下传加法再下传 \(max\)，这样加法是对 \(max\) 没有影响的。

可以把原序列翻转，按上面的操作再做一次，那么得到的是 \(B=\sum_{i=1}^k k-l_i+1\)（因为全都翻转了），不难发现 \(\sum_{i=1}^kr_i-l_i-1=A+B-k(2+k)\)，那么我们得到了答案，时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 600005;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,p[M],res[M],mx[M],cx[M];
int nx[M],num[M],sum[M],fl[M];
void fuck(int i,int c)
{
	fl[i]+=c;sum[i]+=num[i]*c;
	mx[i]+=c;cx[i]+=c;
}
void lim(int i,int c)
{
	if(mx[i]<=c) return ;
	sum[i]-=(mx[i]-c)*nx[i];
	mx[i]=c;
}
void down(int i)
{
	if(fl[i])
	{
		fuck(i<<1,fl[i]);
		fuck(i<<1|1,fl[i]);
		fl[i]=0;
	}
	lim(i<<1,mx[i]);
	lim(i<<1|1,mx[i]);
}
void up(int i)
{
	nx[i]=0;
	num[i]=num[i<<1]+num[i<<1|1];
	sum[i]=sum[i<<1]+sum[i<<1|1];
	mx[i]=max(mx[i<<1],mx[i<<1|1]);
	cx[i]=max(cx[i<<1],cx[i<<1|1]);
	if(mx[i]==mx[i<<1]) nx[i]+=nx[i<<1];
	if(mx[i]==mx[i<<1|1]) nx[i]+=nx[i<<1|1];
	if(mx[i<<1]<mx[i]) cx[i]=max(cx[i],mx[i<<1]);
	if(mx[i<<1|1]<mx[i]) cx[i]=max(cx[i],mx[i<<1|1]);
}
int add(int i,int l,int r,int L,int R)
{
	if(L>r || l>R) return 0;
	if(L<=l && r<=R)
	{
		fuck(i,1);
		return num[i];
	}
	int mid=(l+r)>>1,res=0;down(i);
	res+=add(i<<1,l,mid,L,R);
	res+=add(i<<1|1,mid+1,r,L,R);
	up(i);return res;
}
void ins(int i,int l,int r,int id,int c)
{
	if(l==r)
	{
		nx[i]=num[i]=1;
		mx[i]=sum[i]=c;
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;down(i);
	if(mid>=id) ins(i<<1,l,mid,id,c);
	else ins(i<<1|1,mid+1,r,id,c);
	up(i);
}
void zxy(int i,int l,int r,int L,int R,int c)
{
	if(L>r || l>R) return ;
	if(L<=l && r<=R)
	{
		if(mx[i]<=c) return ;
		if(cx[i]<c)
		{
			lim(i,c);
			return ;
		}
	}
	int mid=(l+r)>>1;down(i);
	zxy(i<<1,l,mid,L,R,c);
	zxy(i<<1|1,mid+1,r,L,R,c);
	up(i);
}
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		p[read()]=i;
	for(int t=1;t<=2;t++)
	{
		for(int i=1;i<=4*n;i++)
			mx[i]=cx[i]=num[i]=sum[i]=fl[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int x=add(1,1,n,p[i]+1,n);
			ins(1,1,n,p[i],i+1);
			zxy(1,1,n,1,p[i]-1,i-x);
			res[i]+=sum[1];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			p[i]=n-p[i]+1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld\n",res[i]-i*(i+2));
}