[提高组集训2021] 古老的序列问题
一、题目
有一个长度为 \(n\) 的整数序列 \(a\)，你需要回答 \(m\) 个询问，每次给出 \(L,R\)，求下列式子的值：
\[\sum_{l=L}^R\sum_{r=l}^R(\max_{i=l}^r s_i)\cdot (\min_{i=l}^rs_i)
\]
\(n,m\leq 10^5\)
二、解法
解法一
猫树分治的进阶版应用，我们把猫叔看作线段树，每次把询问在猫树上面下放，下放的方式：如果正好覆盖当前区间那么留在这个节点上，回溯时算答案；如果不经过中点那么直接下放；如果经过中点那么统计左边对右边的贡献。
主要问题是算左对右的贡献，我们拿一个指针在左半部分从后往前移动，记录到中点的最小值和最大值分别是 \(la,lb\)，那么在右半部分可以分出四个段，含义分别是：最值都在左边取得、最大值在左边取得、最小值在左边取得、最值都在右边取得。
不难发现可以用双指针来找到这些段，然后对于右边的每个点维护左边的一个后缀对它的贡献，在移动左边指针的时候更新贡献即可，四个段对应的系数不同（如果在右边去最值那么要用右边的来乘，这个叫做系数），那么我们用四个线段树来维护系数即可，询问的时候是一个区间查询的过程。
那么时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)，要注意卡常啊
解法二
如果只有一次询问怎么办？移动右端点维护每个左端点的答案，把右端点贡献到询问上去即可。
如果有多个询问怎么办？移动右端点维护每个右端点对应每个左端点的答案，把历史和贡献到询问上去即可。
那么写两个单调栈\(+\)一个带区间乘法支持区间历史和查询的线段树即可，用矩阵乘法维护历史和，时间复杂度 \(O(n\log n)\)
三、总结
猫树进阶应用，一言以蔽之：线段树加 \(cdq\) 分治，注意利用过中点这个性质！
遇事不决，矩阵乘法，矩阵什么都可以维护！
//cat-tree divide
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 100005;
const int N = 400005;
const int MOD = 1e9+7;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,s[M],z[M],a[M],b[M],ab[M],ans[M],f[N];
struct node
{
int l,r,id;
bool operator < (const node &b) const
{
return l>b.l;
}
};vector<node> q[N];
struct seg
{
int L,R,sum[N],sx[N],tag[N];
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y%MOD;}
void add(int i,int c)
{
sum[i]=(sum[i]+mul(sx[i],c))%MOD;
tag[i]=(tag[i]+c)%MOD;
}
void build(int i,int l,int r,int *a)
{
if(i==1) L=l,R=r;
sum[i]=tag[i]=0;
if(l==r)
{
sx[i]=a[l];
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(i<<1,l,mid,a);
build(i<<1|1,mid+1,r,a);
sx[i]=(sx[i<<1]+sx[i<<1|1])%MOD;
}
void down(int i)
{
if(!tag[i]) return ;
add(i<<1,tag[i]);
add(i<<1|1,tag[i]);
tag[i]=0;
}
void ins(int i,int l,int r,int L,int R,int c)
{
if(L>r || l>R) return ;
if(L<=l && r<=R)
{
add(i,c);
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;down(i);
ins(i<<1,l,mid,L,R,c);
ins(i<<1|1,mid+1,r,L,R,c);
sum[i]=(sum[i<<1]+sum[i<<1|1])%MOD;
}
int ask(int i,int l,int r,int L,int R)
{
if(L>r || l>R) return 0;
if(L<=l && r<=R) return sum[i];
int mid=(l+r)>>1;down(i);
return (ask(i<<1,l,mid,L,R)+
ask(i<<1|1,mid+1,r,L,R))%MOD;
}
int Ask(int x) {return ask(1,L,R,L,x);}
}I,A,B,AB;
void add(int &x,int y) {x=(x+y)%MOD;}
void div(int i,int l,int r)
{
if(l==r)
{
f[i]=1ll*s[l]*s[l]%MOD;
for(auto x:q[i])
add(ans[x.id],f[i]);
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;a[mid]=MOD;b[mid]=0;
vector<node> v;
for(auto x:q[i])
if(x.l<=mid && x.r>mid && !(x.l==l && x.r==r))
v.push_back(x);
sort(v.begin(),v.end());
for(int i=mid+1;i<=r;i++)
{
z[i]=1;
a[i]=min(a[i-1],s[i]);
b[i]=max(b[i-1],s[i]);
ab[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
}
I.build(1,mid+1,r,z);A.build(1,mid+1,r,a);
B.build(1,mid+1,r,b);AB.build(1,mid+1,r,ab);
int pa=mid,pb=mid,la=MOD,lb=0,t=mid+1;
for(int i=mid,j=0;i>=l;i--)
{
la=min(la,s[i]);lb=max(lb,s[i]);
for(;pa<r && a[pa+1]>la;pa++);
for(;pb<r && b[pb+1]<lb;pb++);
I.ins(1,t,r,t,min(pa,pb),1ll*la*lb%MOD);
if(pa<pb) A.ins(1,t,r,pa+1,pb,lb);
if(pb<pa) B.ins(1,t,r,pb+1,pa,la);
AB.ins(1,t,r,max(pa,pb)+1,r,1);
while(j<v.size() && v[j].l>=i)
{
node o=v[j];
add(ans[o.id],(1ll*I.Ask(o.r)+A.Ask(o.r)
+B.Ask(o.r)+AB.Ask(o.r))%MOD);
j++;
}
}
f[i]=(1ll*I.Ask(r)+A.Ask(r)+B.Ask(r)+AB.Ask(r))%MOD;
for(auto x:q[i])
{
if(l==x.l && x.r==r) continue;
if(x.r<=mid) q[i<<1].push_back(x);
else if(x.l>mid) q[i<<1|1].push_back(x);
else
{
node t1=x,t2=x;
t1.r=mid;q[i<<1].push_back(t1);
t2.l=mid+1;q[i<<1|1].push_back(t2);
}
}
div(i<<1,l,mid);div(i<<1|1,mid+1,r);
f[i]=(1ll*f[i]+f[i<<1]+f[i<<1|1])%MOD;
for(auto x:q[i]) if(l==x.l && x.r==r)
add(ans[x.id],f[i]);
}
void write(int x)
{
if(x<=9)
{
putchar(x+'0');
return ;
}
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
signed main()
{
freopen("sequence.in","r",stdin);
freopen("sequence.out","w",stdout);
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
s[i]=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int l=read(),r=read();
q[1].push_back(node{l,r,i});
}
div(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++)
write(ans[i]),puts("");
}
//segment tree maintaining matrix
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cassert>
using namespace std;
const int M = 100005;
const int MOD = 1e9+7;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,ans[M],a[M],sa[M],sb[M];
struct node{int x,y;};vector<node> g[M];
struct mat
{
int a[2][2];
mat() {memset(a,0,sizeof a);}
void reset() {a[0][1]=a[1][0]=0;a[0][0]=a[1][1]=1;}
mat operator * (const mat &b) const
{
mat r;
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
r.a[i][k]=(r.a[i][k]+
1ll*a[i][j]*b.a[j][k])%MOD;
return r;
}
}tr[4*M],tag[4*M],ZXY;
int qkpow(int a,int b)
{
int r=1;
while(b>0)
{
if(b&1) r=1ll*r*a%MOD;
a=1ll*a*a%MOD;
b>>=1;
}
return r;
}
mat con(int c)
{
mat r;
r.a[0][0]=c;r.a[1][1]=1;
return r;
}
void build(int i,int l,int r)
{
tag[i].reset();
tr[i].a[0][0]=r-l+1;
if(l==r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
build(i<<1,l,mid);
build(i<<1|1,mid+1,r);
}
void down(int i)
{
if(tag[i].a[0][0]==1 && tag[i].a[0][1]==0
&& tag[i].a[1][0]==0 && tag[i].a[1][1]==1) return ;
tr[i<<1]=tr[i<<1]*tag[i];
tag[i<<1]=tag[i<<1]*tag[i];
tr[i<<1|1]=tr[i<<1|1]*tag[i];
tag[i<<1|1]=tag[i<<1|1]*tag[i];
tag[i].reset();
}
void add(int i,int l,int r,int L,int R,mat c)
{
if(L>r || l>R) return ;
if(L<=l && r<=R)
{
tr[i]=tr[i]*c;
tag[i]=tag[i]*c;
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;down(i);
add(i<<1,l,mid,L,R,c);
add(i<<1|1,mid+1,r,L,R,c);
tr[i].a[0][0]=(tr[i<<1].a[0][0]
+tr[i<<1|1].a[0][0])%MOD;
tr[i].a[0][1]=(tr[i<<1].a[0][1]
+tr[i<<1|1].a[0][1])%MOD;
}
int ask(int i,int l,int r,int L,int R)
{
if(l>R || L>r) return 0;
if(L<=l && r<=R) return tr[i].a[0][1];
int mid=(l+r)>>1;down(i);
return (ask(i<<1,l,mid,L,R)+
ask(i<<1|1,mid+1,r,L,R))%MOD;
}
void write(int x)
{
if(x<=9)
{
putchar(x+'0');
return ;
}
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
signed main()
{
freopen("sequence.in","r",stdin);
freopen("sequence.out","w",stdout);
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=read();
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int l=read(),r=read();
g[r].push_back(node{l,i});
}
int la=0,lb=0;mat I;
I.reset();I.a[0][1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(la && a[sa[la]]<a[i])
{
int c=qkpow(a[sa[la]],MOD-2);
add(1,1,n,sa[la-1]+1,sa[la],con(c));
la--;
}
while(lb && a[sb[lb]]>a[i])
{
int c=qkpow(a[sb[lb]],MOD-2);
add(1,1,n,sb[lb-1]+1,sb[lb],con(c));
lb--;
}
add(1,1,n,sa[la]+1,i,con(a[i]));
add(1,1,n,sb[lb]+1,i,con(a[i]));
sa[++la]=i;sb[++lb]=i;
add(1,1,n,1,i,I);
for(auto t:g[i])
ans[t.y]=(ans[t.y]+ask(1,1,n,t.x,i))%MOD;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
write(ans[i]),puts("");
}
