CF429E Points and Segments

一、题目

点此看题

二、解法

\(\tt CF\) 远古场的题，感觉思维得到了巨大的锤炼

因为判断不合法的点只需要考虑端点，所以我们先把端点离散化。

两种东西选主元，比如我们选红色为主元，假设一个点被线段覆盖了 \(cnt\) 次，那么合法的充要条件是这个点被红色线段覆盖了 \(\lfloor\frac{cnt}{2}\rfloor\) 或者是 \(\lceil\frac{cnt}{2}\rceil\)

可以根据这个建立网络流模型，相邻两个点连下界为 \(\lfloor\frac{cnt}{2}\rfloor\) 上界为 \(\lceil\frac{cnt}{2}\rceil\) 的边，每个边的流量意义就是起点被红色线段覆盖的次数，然后对于区间 \([l,r]\) 我们需要决策它是否是红色线段，把 \(r+1\) 连 \(l\) 一条容量为 \(1\) 的边，流过这条边就代表这个区间染红。

但是网络流跑不过，观察如果 \(cnt\) 是偶数这个限制为必须有 \(\frac{cnt}{2}\) 条红色线段，\(cnt\) 是奇数就有点难搞了。我们可以设置辅助变量把奇数的限制归约到偶数限制，如果 \(i\) 的被覆盖次数为奇数，那么添加一个区间 \([i,i]\)

现在把红色线段权值看成 \(1\)，蓝色线段权值看成 \(-1\)，那么每个点的权值都是 \(0\)，对于每个区间我们连边 \([l,r+1]\)，限制很容易转化成给一个无向图，给每条边定向，要求每个点的入度等于出度。

那么这就是欧拉回路啊，按路径的方向定向即可，容易证明得到的图每个点的度数为偶数，所以一定有解。

三、总结

在转化限制类问题中，两种东西选主元的方法可以把限制转化到一个东西上。

添加辅助变量的思想真的特别重要！它可以把不同种类的限制规约，能简化限制，经典例子是线性规划添加基向量把问题转成标准型。

欧拉回路应用积累：构造给边定向的方案使得每个点的入度等于出度。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 500005;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,k,tot,f[M],a[M],b[M];
int l[M],r[M],cur[M],vis[M],ans[M];
struct edge
{
	int v,id,next;
}e[4*M];
void add(int u,int v,int id)
{
	e[++tot]=edge{v,id,f[u]},f[u]=tot;
	e[++tot]=edge{u,id,f[v]},f[v]=tot;
}
void dfs(int u)
{
	while(vis[e[cur[u]].id])
		cur[u]=e[cur[u]].next;
	if(!cur[u]) return ;
	int i=cur[u],v=e[i].v;
	ans[e[i].id]=u<=v;
	vis[e[i].id]=1;
	cur[u]=e[i].next;
	dfs(v);
}
signed main()
{
	n=k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		l[i]=a[++m]=read();
		r[i]=a[++m]=read()+1;
	}
	sort(a+1,a+1+m);
	m=unique(a+1,a+1+m)-a-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		l[i]=lower_bound(a+1,a+1+m,l[i])-a;
		r[i]=lower_bound(a+1,a+1+m,r[i])-a;
		b[l[i]]++;b[r[i]]--;
		add(l[i],r[i],i);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		b[i]+=b[i-1];
		if(b[i]%2) add(i,i+1,++k);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cur[i]=f[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(cur[i]) dfs(i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d ",ans[i]);
}