zxy的思维技巧

如果觉得这篇博客写得好的话不妨点一个推荐（我怎么沦落到求赞的地步了

0.更新日志

我尽量在本篇博客总结我遇到的所有思维技巧，希望深入理解之后能形成思维网络。

本篇博客的选题很多都是 \(\tt CF\ 3000+\) 的题，具有很高的思维难度而非代码难度。

\(2021/8/10\)，把 \(dp\) 开了个头。

\(2021/9/30\)，继续更新 \(dp\) 部分。

\(2021/10/8\)，继续更新 \(dp\) 部分。

\(2021/10/14\)，继续更新 \(dp\) 部分。

\(2021/10/29\)，感觉复习慢一点也没关系，一定要尽量自己推出来，懂得完整的逻辑链条然后从中提取我所缺失的精华，这才是复习的目的，继续更新 \(dp\) 部分。

\(2021/11/8\)，终于开始复习图论啦，现在看来退役之前肯定更不完了，把这个技巧性强的复习完就满足了吧 \(qwq\)

\(2021/11/15\)，每次找判定性条件，一定要找必要条件，我已经因为没有往这方面想受到重创了。

\(2021/11/19\)，真他吗退役之前更不完了，\(zxy\) 啊 \(zxy\) 之前暑假定下的不断更目标你忘了吗？

\(2021/12/21\)，退役一个月之后回归，以后养成好习惯，新写一道题的题解之后就放上来。

\(2022/2/9\)，怎么马上就要省选了啊，省选之前争取基本完工吧，这东西真的就是我的遗产了。

\(2022/3/30\)，开始涉足一些以前没有整理过的板块。

\(2022/4/10\)，字数上万了，这篇博客称为 \(\rm 3A\) 大作不过分吧？

\(2022/7/19\)，正式开始 \(\tt NOI\) 之前为期一个月的复习计划。

\(2022/7/27\)，稳步进行复习中，大概在 \(8/6\) 结束第一阶段的复习，在 \(8/10\) 结束第二阶段的复习（整理贪心\(\&\)数据结构）。然后重读这篇博客，找出遗忘的地方再次复习，多推一推思路总是好的。

1 dp

1.1 常规dp的思维过程

1.1.1 问题转化

  • 比如你要让所有点被覆盖，那么状态可以设计成覆盖一段前缀，并且中间不允许出现断点：CF1476F
  • 序列上的路径问题，可以转化成起点和终点的匹配问题，\(dp\) 匹配的权值，记录匹配的标记就可做：The Karting
  • 多过程的题，不妨考虑末状态具有什么性质，直接对末状态进行计算。比如一类期望题中，某一种方案的定义方式最后导出等概率出现，就可以直接对此方案计数了：绿宝石之岛
  • 高维的问题，可以通过技巧拆分成不相关的低维问题，比如 \(45\) 度旋转：Jumping sequence
  • 尽可能的简化问题也是问题转化的一部分，比如把具有平行关系的点缩在一起：Black, White and Grey Tree
  • 计数问题中任何性限制原则上优于存在性限制，可以通过切换限制主体来完成转化：Reunion
  • 子序列问题可以通过证明不交转化成区间问题，要向简单的 \(dp\) 模型靠拢：AmShZ Wins a Bet

1.1.2 发掘性质

理清思路真的很重要，拿到题你可以先想想什么东西在什么情况下合法。

  • 什么时候需要你去发掘性质？当你发现直接 \(dp\) 需要考虑的情况太多了，你可以手玩找一些最优解需要满足的必要条件，才能让你的 \(dp\) 有的放矢，例题：CF1368H1、Division into Two
  • 性质是针对限制而来的，在限制较少的题目中可以去往考虑更少情况的方向猜性质：CF573D
  • 在具有强烈过程性的题目可以往结果的方向猜性质：To Make 1、模拟赛2-A、Eternal Average
  • 很多时候讨论特殊情况可以得到很好的性质：泳池（讨论 \(0\) 的情况可以得到调和级数的性质）
  • 如果限制的主体数量级巨大（比如集合、子序列），那么可以考虑归纳、递归的方法描述限制。并且使用这种方法还有一种好处，就是递归子问题很容易拓展到 \(dp\) 的形式：Density of subarrays

1.1.3 思考决策状态

  • 可以先使用枚举法帮助思考我们需要决策的状态，然后用 \(dp\) 加速枚举的过程：Sorting Books；Insertion Sort
  • 计数题可以想一想需要知道什么量可以用计数原理快速算方案，然后我们用 \(dp\) 决策这些量即可：一拳超人
  • 可以选取一种基状态，其他状态可以由基状态修改而来，这时候尽量把问题改成多个量选\(/\)不选的问题，也尽量把他们的影响独立开来，然后用 \(dp\) 决策这个过程：New Year and Binary Tree Paths
  • 如果是决策的最终状态，且有多种方式可以到达同一种最终状态，那么强制只用其中一种方式：Mr. Kitayuta's Gift

1.1.4 选定dp主体

我们知道，\(dp\) 的本质是枚举所有状态，但是这些状态必然有一个载体，所以我对 \(dp\) 主体的理解是他只是一种状态的表示方法，我们用它来描述状态，但是状态是最重要的。

很多时候你会遇到很多奇怪的 \(dp\) 主体，但判断它们的唯一原则就是是否能考虑所有状态，选 \(dp\) 主体的时候容易被思维定式局限，所以思考可以从哪些方面来描述状态是重要的，这里有一些关于选定 \(dp\) 主体的例子：

  • CF1474F：选 \(x\) 轴为 \(dp\) 主体是不容易的，但是因为我们通常是按顺序考虑子序列所以很容易陷入这个误区，选 \(y\) 轴为 \(dp\) 主体问题就迎刃而解了，所以对偏序关系更高级的理解是若干个限制，不同的题需要从不同的限制入手。
  • 卡农：并不一定以小处为主体，比如这题主体为数不好做，但是主体为集合就可以直接转移了。
  • CF1463F：遇到集合最优化问题时，可以考虑在值域上规划，选值域为 \(dp\) 主体。

1.1.5 设计dp状态

  • 只保留和代价计算有关的量，比如如果代价只和数量有关，并且如果可以通过数量还原出集合，我们可以把状压的一维改成线性的：CF1188D
  • 当状态很大的时候可以考虑通过枚举来把某些量拿出状态里面：Game with Cards
  • 当问题前后相互影响时，可以考虑把全局变量定义到局部状态里面：密室逃脱；如果操作是全局的，上面的方法也很好用：Red and Black Tree
  • 把和限制紧密贴合的量设计到状态里面，阴间出题人可能会用题目描述来引导你设计非常慢的 \(dp\) 状态，做一些基本的题意转化即可：皮配
  • 可以设计相反的状态，比如最小花费步数转化为最大减少步数，可能转化后更贴合题设：Paint

1.1.6 确定dp顺序

听着，所谓 \(dp\)，最重要的是顺序。无论是考虑限制的顺序，还是计算贡献的顺序，一定要着重思考，我觉得它和结论题中的必要条件有着相同的地位。

  • 治疗计划：如果操作是有时间顺序的话，我们很容易被局限于时间中，另一种思路是考虑操作的主体，考虑主体的关系时把时间的影响考虑进去，所以 \(dp\) 不一定按时间。
  • 一拳超人：如果一个东西对另一个东西有单向的影响，那么先处理前面那个有助于考虑影响。
  • Kyoya and Train：图问题中，要注意转移顺序，通常这一维时单调的就可以作为顺序维，比如时间。
  • 集合选数：\(dp\) 顺序尽量让限制紧凑一些，我们也许可以在独立的前提下篡改顺序。
  • Singer House、环：注意 \(dp\) 的顺序和方案的顺序是有区别的。比如对于路径计数问题，如果我们按照序列从左到右 \(/\) 树形自底向上的 \(dp\) 顺序计数，那么达到的效果就是若干条有向链合并的过程。
  • MEX counting、遗迹：可能需要根据限制的特性，提前\(/\)延迟确定一些元素的过程。
  • The Hanged Man：选取合适的 \(dp\) 顺序，可以减少 \(dp\) 状态。

1.1.7 寻找子问题

  • 这部分我觉得可以总结一些核心的思想：寻找子问题最重要的是找状态之间的相似性，所谓相似性的含义就是信息记录在子问题中的一部分的占比，相似性越大你写转移就越容易，这需要你强大的观察能力：stars；要去构造问题之间的相似性，比如染色问题中可以通过钦定不变色来获得相似性：Shrinking Tree
  • 寻找子问题要考虑消除后面操作的影响，这样才能保证没有后效性：如果某个元素对于前面的影响是长远的，但又只能考虑一小步转移，那么寻找当前问题的等效子问题，就可以把这个影响传递下去，完成转移：stars；或者可以通过枚举法来消除所谓影响：Lanterns
  • 当考虑一小步不能很好的归纳到子问题时，可以定义一个辅助数组来解决这个中介状态：矩阵、统计问题中若当前不能计算代价，可以设计辅助数组把代价存下来：消失的运算符
  • 枚举法制造限制来划分子问题，比如顺序匹配问题中可以枚举空位：CF1439D

1.1.8 考虑如何转移

  • 转移的大步小步。小步适于考虑转移，但是可能会消耗更多时间；大步常常会很复杂，但是可能起到加速的效果。在大步小步之间切换，才能写出合适的转移：Appleman and a Game

  • 转移中存在的限制很烦，在一些计数问题中，对于多个元素的限制可以考虑某些元素任意选，另一些元素为了满足限制而具有确定的选法，计数 \(dp\) 中选择的顺序是十分重要的：卡农

  • 如果确定转移顺序之后前后会相互影响，那么在后影响前的时候可以通过枚举来解决这个影响，再归纳到子问题：CF1476F

  • 多个对象的决策问题中，通常只考虑最后一个对象的决策：CF1439D

  • 正难则反是很重要的技巧，比如在计算第一次到达的方案数的题目中，容斥掉的项就是子问题：逃跑

  • 转移的时候适当的算错，可能会让转移简洁很多：常见的模型是算错但是一定不会作为转移点 link；还有是算少但是最优解可以被统计到：Gerald and Path

  • 复合 \(dp\)，设计多个 \(dp\) 状态，互相转移的方法是很值得思考的。其实我感觉它的原理还是分步思想，把一个较为复杂的问题拆分成若干个部分解决，这些部分中可能又蕴含子问题：模拟赛6-A；或者是多个 \(dp\)，一个 \(dp\) 用于拆分，一个 \(dp\) 用于解决被弱化过的问题，通常可以得到很好的性质：CF1439D、泳池

  • 可以把限制的判断拆分到转移中进行：泳池、遗迹

1.2 常见dp优化方式

1.2.1 斜率优化

  • 有些题很难看出需要用斜率优化，把和状态有关的量当成常数，把只和转移点有关的量当成纵坐标，把交叉项系数当成横坐标，把转移点的某个量当成直线去切即可：CF1067D
  • 另一类不常见的斜率优化是，变形出斜率的形式，维护凸包：国王饮水记

1.2.2 决策单调性

定义：对于 \(a<b<c<d\)，若 \(f(c)\) 从 \(b\) 转移比 \(a\) 优，那么 \(f(d)\) 从 \(b\) 转移也比 \(a\) 优。

判断式：\(w(j,i+1)+w(j+1,i)\geq w(j,i)+w(j+1,i+1)\)

通用实现：把决策点拿去分治，每次更新中间位置的状态，然后把决策点划分到两边。

1.2.3 考虑有效转移/状态

  • 只去计算和答案有关的状态（也就是减少状态的数量），当前前提是转移不出问题：Rescue Niwen!；如果答案是和式，那么可以把状态也定义成和式：Student's Camp
  • 在某一种特殊情况下一种转移的方式会变少，可能达到复杂度级别的优化。序列上可以考虑区间交\(/\)不交情况下的有效转移：Communism
  • 两种转移的时候选一种为主体，另一种在它的基础上对答案有影响的时候就是有效转移；并且如果一种状态明显超过了需要考虑的范围（就算在价值上它是更优的），你也不需要去考虑它：CF771E
  • 从某个点转移一定比另一个点转移要优，看起来很朴素的结论却能在很多时候有奇效。它可以让转移点的数量大大减少：Bank Security Unification；也可以忽略到一些恶心的限制（不合法的点一定不优）：模拟赛4-A；也可以利用贪心大致筛选一些有效转移：Professional layer

1.2.4 讨论法

  • 整个问题重要的量可能很多，都需要用状态表示出来，但某些情况下有用的量可能会减少，这时候可以分类讨论，互相转移：Favorite Game
  • 当 \(dp\) 的取值很少且是分层转移的，可以讨论并用数据结构维护状态：Split
  • 图论问题可以讨论掉一些较小的环来降低复杂度：Abandoning Roads
  • 讨论法很适合处理环形 \(dp\) 问题。环形 \(dp\) 的关键是：断开哪一条环边（我们想要环边具有怎样的特殊性质）；断开环边局部的状态是怎样的（简单讨论可以解决）：Sonya Partymaker

1.2.5 等价类

  • 在很多图论问题中状压环的时候，如果转移只和环的大小有关，那么可以把相同大小的环看成一个等价类：CF1466H
  • 只和数量有关而和顺序无关可以按照数量划分等价类：Mr. Kitayuta's Gift
  • 乘积不超过某个数的题目可以考虑通过逆向整除分块来划分等价类：Ridiculous Netizens
  • 转移方式相同而且易于计算总方案数，可以把它们划分为等价类：逃跑

1.2.6 数据结构优化

  • 对于数列覆盖问题，常有的结论是两个点的覆盖范围要么包含、要么相离，这时候可以选择用单调数据结构维护（因为覆盖范围单调），而不是带 \(\tt log\) 的数据结构：CF1131G
  • 发现题目有不可解决的维度时，要敢于使用数据结构。但是此时空间消耗特别重要，注意处理 \(dp\) 的顺序，才能时数据结构的使用简单化，并且减少常数的消耗：购票

1.2.7 解决巨大数据范围

  • 离散化是解决较大数据范围的一种方式，如果某一段内转移相同，可以离散化出段然后矩阵加速：CF1474F；或者记录离散化段内的信息转移：划艇；离散化还可以把连续型问题转化为离散型问题：Random Ranking
  • 可以找循环节，只要不同的循环节之间没有多的限制就行，然后每个循环内部都取最优解。证明的关键在于没有构成完整循环的那部分，可以考虑调整法证明（具体思路见例题）：CF1463F
  • 对于最优化的 \(dp\) 问题，可以去找转移点的结论，知道每个转移点转移多少次就可以矩阵加速了：CF1067D

1.2.8 考虑转移路径

  • 转移路径可以形象化地表示出来，那么可以把简单的 \(dp\) 转化成计数问题，比如这里二维简单 \(dp\) 转网格图计数：[JLOI2015]骗我呢
  • 考虑 \(dp\) 的组合意义可以建出图论模型，快速计算时直接枚举其中的某个量：匹配字符串

1.2.9 费用计算优化

  • 如果当前状态不好知道，但你清楚代价的变化规则时，可以费用提前计算：Candles
  • 如果代价是全局的，那么可以费用延后计算（但一定要注意有无后效性啊??）：Red and Black Tree

1.2.10 分治优化

  • 背包问题中如果只有一种元素会特殊，那么可以用分治优化，每次保留本层最优解传递上去即可，复杂度会优化的原因是分治会通过在部分中竞争保留最优解：篮球；
  • 只要是对于一段区间只有加入就可以尝试线段树分治，不一定要是序列上的区间，可以是先建立树形结构之后，对于一段 \(\tt dfn\) 区间的修改：序列
  • 如果只有一个位置不加入，也可以直接分治优化：Random Ranking

1.2.11 神奇优化

  • 当转移代价无法优化时，可以考虑转移点数量的限制，然后快速找到转移点：绯色IOI
  • 不支持取 \(\max\) 操作时，可以通过考虑转移点的性质来转贪心，通常是权值单向影响的题目：CF878E
  • 如果 \(dp\) 值单调，并且需要支持合并和取最值，那么可以用 \(\tt set\) 维护差分标记：魔法树
  • 如果 \(dp\) 代价为正并且只存在于单点上，那么可以考虑成类最短路，每次拿到最小的那个能扩展就扩展，用数据结构维护最容易被扩展的点即可（通常是线段树维护最值）：治疗计划
  • 整体 \(dp\)，如果多个 \(dp\) 转移方式完全相同，那么可以考虑一次 \(dp\) 求出答案，比如序列上可以通过端点初始化和端点统计完成：Extreme Extension、Foreigner、星图；更加灵活的形式是找问题之间的关系：Palindromic Hamiltonian Path；其他例子：Mr. Kitayuta's Gift、山河重整、线段树

1.3 常见dp模型

1.3.1 树形dp

  • 树背包真正的复杂度是第一维大小乘上第二维大小，特别是第二维很小的情况：CF1097G
  • 建立一些使用于特殊性质的树形结构，并在结构上规划：浅谈笛卡尔树结构的应用
  • 树重排规划问题可以考虑转区间 \(dp\)，本质上就是枚举根的过程：Tree Tweaking
  • 路径规划问题，可以枚举起点，然后使用换根 \(dp\) 来获取最优的起点：Svjetlo
  • 合并问题可以从叶子开始考虑：Logical Operations on Tree
  • 树上路径的限制问题，可以只保留最深的\(/\)最浅的记为状态转移：命运
  • 不支持合并的树形 \(dp\) 问题可以考虑转成 \(\tt dfn\) 序上 \(dp\)（树上依赖背包）：Ridiculous Netizens

1.3.2 状压dp

1.3.3 连续段dp

  • 连续段 \(dp\) 可以计算端点产生的贡献，这是和连续段数正相关的：摩天大楼
  • 写转移的时候可以用两段之间任意长这个条件，方案数就便于计算了：Phoenix and Computers

1.3.4 背包

  • 如果装入的总物品不是很多（\(\sqrt n\) 级别）并且连续，可以考虑柱状图 \(dp\)，转移分为增加一个柱子和把所有柱子整体升高：逆序对、山河重整；而且这种 \(dp\) 天然带有顺序，如果你想求前 \(k\) 大的话是特别方便的：绿宝石之岛
  • 多重背包如果只需要判定存在性，可以维护还剩下的物品数量，转完全背包：AB tree
  • 如果背包支持快速合并（有凸性），那么可以直接用分治优化：妹妹卡组
  • 要有一个总体是时间观，很多巧妙的背包优化只能把 \(n\) 变成 \(\sqrt n\)，如果需要本质复杂度的下降，那么可以尝试改变维护的东西，降维是常用的技巧：Tree Degree Subset Sum、Jumping sequence，降维的关键就是找独立性之后拆分：皮配
  • 有一个物品是特殊的，它的选取方式和其他物品不一样，特殊考虑它就能让问题变简单：Lucky Numbers；少量特殊物品时可以考虑分别计算然后合并背包：皮配
  • 很多时候背包会存在（隐藏的）拓扑关系，这时候的结论可能是选了小价值物品就必须选大价值物品：Turtle
  • 总容量大，但是物品重量很小的背包，可以按二进制位考虑压缩有效状态数：物品
  • 前后缀背包，把这个思想搬到树上就是求出 \(\tt dfn\) 正序背包和 \(\tt dfn\) 倒序背包，然后再合并：苹果树

1.3.5 计数dp

计数 \(dp\) 的原则是：初始有一些基础方案，然后我们逐步添加可以区分出方案的东西（这东西是根据方案不同的定义来的），转移到不同的地方就代表这一步产生了不同的方案：高维游走

  • 组合意义的嵌套的重要的方法，也就是我们给我们的代价函数确定一个组合意义，那么 \(dp\) 就需要同时完成确定局面和组合计数的功能，常用技巧是拆分：Pass to Next、Stranger Trees、Crash 的文明世界
  • 巧妙的枚举可以达到合并两个子问题方案的目的，比如本题枚举可以合并组合数：CF1097G
  • 如果判断合法需要使用 \(dp\)，而原问题又是一个计数问题时，可以使用 \(dp\) 套 \(dp\)，其关键还是建出 \(\tt DFA\)：模拟赛7-A、游园会

1.3.6 杂项

  • \(dp\) 维护直线函数：CF889E
  • \(\tt slope\ trick\) 优化 \(dp\)，主要处理代价带绝对值的规划题目：折线算法；可以维护很多跟斜率有关的操作，比如含有 \(\tt max\) 的函数：Increment Decrement
  • \(dp\) 维护容斥系数，在大小关系中的计数题中十分常见：小D与随机、不等关系；一些需要考虑集合的毒瘤题中，暴力指数级容斥出奇迹，再转 \(dp\) 维护即可：猎人杀、百鸽笼

2 图论

2.1 图论问题的思维过程

2.1.1 图论模型的建立

首先考虑对于原问题的什么对象建立模型（主体的选取），然后尝试用图论的各种意义去表示原问题中的元素（比如点权、边权、路径、连通块\(...\)），这两步都不要被定式思维所限制。

以题目中的一个限制为基础建立模型，这一步不要被思维定式所局限。

  • 遇到难以处理的全局限制时可以考虑图论：Maximum Adjacent Pairs
  • 矩形中类似推箱子的问题，可以把箱子的移动转化成空格的移动，建立关于空格移动路径的图：Shifting Dominoes
  • 区间元素和的判定问题可以把前缀和建成点，原图中的元素建成连接前缀和的边：Flip and Reverse

2.1.2 图结构的分析

  • 树形结构具有很多优美的性质，可以通过分析度数与环来证明树形结构：Shifting Dominoes
  • \(dfs\) 树是很重要的思维方式，通常我们分析树边和非树边能得到很多有意思的性质。如果是有向图还要考虑哪个点为根更好分析：James and the Chase；或者可以通过 \(\tt dfs\) 树直接给出构造：Nezzar and Hidden Permutations；Weighting a Tree
  • \(\tt DAG\) 具有很好的性质，所以就算是遇到一般图时，也可以先思考在 \(\tt DAG\) 的环境下如何处理：Sergey's problem

2.1.3 问题转化

  • 度数和连通性常常可以互化，但度数描述单点限制，连通性描述整体限制：电报
  • 图论中拆分思维也很重要，把总贡献拆分到点上\(/\)边上：Keys
  • 如果不同的限制具有拓扑关系，根据题目特性可能可以忽略一些限制：Falling sand
  • 一类东西只贡献一次的问题可以考虑转化成匹配问题：Maximum Adjacent Pairs
  • 可达性问题可以考虑转化成连通性问题，此时注意考察连通的双向性和等价性：Cow and Vacation

2.1.4 寻找结论

2.2 常见算法应用

2.2.1 最短路

  • \(\tt dijk\) 的遍历思想在很多题中有大用处，如果每个点只需要遍历一次那么维护最有可能遍历的点：Mike and code of a permutation；治疗计划
  • 动态加边可以解决到达时间最小的限制，它的本质是如果具有连通性就可以说明最早到达：Dirty Arkady's Kitchen；动态加边还可以直接维护强连通性，对正反图动态 \(\tt bfs\) 即可：图函数；动态加边还可以完成版本之间的转化，结合 \(\tt spfa\) 可以做到某些情况下的动态最短路：道路堵塞
  • 用 \(\tt dijk\) 可以保证一些特殊的转移顺序：Intergalaxy Trips
  • 环上的最短路，如果数据范围极大，先考虑重构环之后再扫环：Drazil and His Happy Friends
  • 删点后求最短路的问题有固定套路，就是考虑有一条边一定会跨过这个点，可以拼凑出路径来：风之轨迹；道路堵塞

2.2.2 连通性

  • 互达问题可以思考连通性，连通性重要的一点是传递性，有些问题可能只有特殊点具有连通性：Cow and Vacation
  • \(\tt lct\) 可以维护动态边双连通分量，考虑把非树边的影响转化成赋值标记即可：Bear and Chemistry
  • 无向图路径的最值问题，可以将边权排序之后转化为维护连通性（最小生成树只是特例）：路径查询
  • 对于带修改的问题来说，可以有一个统一的固定结构来处理两点连通的时刻（边起作用的时刻）：Gates to Another World；维护强连通性，可以用整体二分求出每条边强连通的时间，然后转化成维护无向图的连通性：WD与地图

2.2.3 拓扑排序

  • 拓扑排序可以提供一种解构图的顺序，注意拓扑排序中天然带有的可达性：Pink Floyd；如果需要一些出现顺序的关系，可以先建立图之后考虑其拓扑序：Insider's Information
  • 拓扑排序的性质，同在队列里的点没有任何到达关系，可以通过它来筛选合法点：Upgrading Cities
  • 拓扑排序的另类形式：按 \(1\sim n\) 的顺序在反图上 \(\tt dfs\)，最后回溯的顺序就是拓扑序：Mike and code of a permutation

2.2.4 将问题转化到图论算法

  • 调整法可以帮助建出差分约束限制，矩阵问题可以以行和列为待定变量：矩阵游戏
  • 拓扑排序可以解决带平局的博弈问题，首先全部设置为平局，按照定义对反图跑拓扑即可：Shiritori
  • 差分约束的反向应用，如果要求是不出现负环，那么等价于有差分约束的合法解，那么可以把图上的边都写成不等式：Negative Cycle
  • 二分图染色问题，如果需要优化连边，得到同色的性质可以缩成一个点，然后套用并查集路径压缩的时间复杂度：港口设施

2.3 树问题

知识点：树的直径（邻域理论）、树的中心、链剖分、虚树、树分治、树合并、树哈希。

2.3.1 问题转化

2.3.2 树上算法

  • \(\tt lct\) 有着特别重要的染色模型，也就是用实边代表同色，虚边代表异色，修改就是把一个点到根的路径染色，然后用数据结构维护颜色的方法：Matches Are Not a Child's Play、树点涂色
  • 延迟贪心，即能不放置关键点则不放置，这样能把关键点放置在最浅的位置：Squid Game
  • 要快速计算虚树的大小时，可以考虑下标为 \(\tt dfn\) 序的线段树来维护：语言；这种用线段树去重的方法还可以应用于字符串中（若干后缀的本质不同前缀，\(\tt sam\) 上启发式合并）：Asterisk Substrings；这类线段树合并的本质是用线段树的结构提供了一个合并顺序：三角形
  • 最大\(/\)最小边权问题考虑 \(\tt kruskal\) 重构树。比如想要求虚树的最大边权，可以转化成重构树上最浅的祖先，即 \(\tt dfn\) 序最大点和最小点的 \(\tt lca\)：Groceries in Meteor Town
  • 路径问题考虑点分治，不要被复杂的形式给诈骗了：Network

2.3.3 常见模型

  • 连通块问题的常用解决方法：可以在连通块的最浅点统计这个连通块的贡献，那么用树形 \(dp\) 来规划这个最浅点即可：切树游戏、Ridiculous Netizens；还可以用 点数-边数=1 的经典容斥：完美的集合；选取连通块的代表点时，可以套用点分树这种分治结构：成都七中、Ridiculous Netizens
  • 还原树的问题中，可以分步还原，也就是先还原特殊点的结构，再还原整体的结构：Restoring Map；New Year and Forgotten Tree
  • 边权和贡献最大问题可以往长链剖分这个角度考虑，如果是路径问题可以通过 \(2k\) 个叶子的构造性结论转化成最长链问题（前提是需要定根）：Spiders Evil Plan
  • 巧妙利用树上结构，如可以用重链剖分的结构来快速定位：Nauuo and Binary Tree；若是多个数通过操作合并为一个数，可以思考操作的树形结构：Eternal Average；括号序列的树形结构是重要的：[省选联考 2022] 序列变换（差点因为这题没进队）

2.4 网络流

有一些入门的内容，不想整理了：网络流简单题选做；网络流二十四题

把下面这些整理完之后，我才发现好像网络流确实已经很难有新意了，很多 \(\tt trick\) 都是反复出现的。

2.4.1 量的意义

  • 用流量的流入和流出代表加减，可以表示一些加减的不等式关系：Red-Blue Graph
  • 流量可以在基于要求的情况下，表示解决要求的途径，而费用可以看成途径的代价：Chips Challenge
  • 可以用路径来表达不合法的关系，再用最小割来获取最优解：Starry Night Camping；老C的方块
  • 对于覆盖类型的限制，把需要覆盖的点串联起来，用路径表示覆盖的关系：奇怪的线段树

2.4.2 观察性质

  • 如果用网络流解决平面图问题，可以考虑黑白染色转二分图的性质：过山车
  • 网络流解决矩阵问题，可以用行列来建二分图：；但这有时候是个思维定式，如果行和列独立并且有其他限制，那么建单层图能更好地表达限制：Asa's Chess Problem
  • 完美匹配的等价条件是 \(\tt Hall\) 定理，所以如果原问题和 \(\tt Hall\) 有某种关联可以通过这层关系转化到网络流上：Construction of a tree
  • 拆分法，网络流一般只能解决单点对单点的限制，如果是多点对单点，那么大胆找结论，我们可以从答案的形式入手：Rainbow Triples；还有对代价的拆分，比如绝对值的微元贡献法：One Billion Shades of Grey
  • 如果某个问题可以建出其费用流模型，那么是有凸性的，就引申到了 \(\tt wqs\) 之类的算法：April Fools' Problem

2.4.3 小技巧

2.4.4 图匹配问题

  • 一般图匹配也许可以通过结论转化成二分图匹配（左部右部的匹配次数相同）：模拟赛5-A
  • 一些情况下贪心地匹配：Add to Square（达到构造的界）；模拟赛2-C（特殊的偏序关系）
  • 二分图的独立性（只需要考虑某一部的具体情况）：Bipartite Blanket
  • 不能走回头路的博弈问题可以考察二分图匹配相关的结论，这是因为交错路具有特殊的数量关系：游戏
  • 经典问题：有向图求环划分，可以拆成入点和出点跑二分图匹配：边

2.4.5 常见模型

  • 混合图的欧拉回路，思考清楚度数在原问题中对应着什么即可套用此模型：wait
  • 最大权闭合子图，可以解决带强制选取关系的选\(/\)不选问题，或者也可以解决类似的二选一问题：魔法商店
  • 最长反链，转最小链覆盖之后，用 \(\tt dfs\) 的方法构造即可：Birthday；也有构造新的偏序集再跑最长反链的题目：Making It Bipartite
  • 上下界网络流，可以表示一些强制限制：Showing Off；带上下界的网络流

3.unknown

3.1 计数

3.1.1 问题转化

  • 映射法，遇到多对一的问题时（多种方案生成同构的结果），可以通过添加限制把多化一，构成双射：Two Histograms；可以根据数感，和常见的结构建立映射关系：神必的集合、Slime and Sequences；遇到信息题时（确定未知变量），考虑我们都知道什么信息，和信息建立映射关系：Bears and Juice
  • 组合意义法，如果方案数是加权的，那么思考权值的组合意义，最好化为存粹的方案数：Min Product Sum；教数学的校长；组合意义尽量合并多步计数（即把原来复杂的结果化为一个过程）：盒；对于外层的枚举可以建立虚点来等效替换：数叶子；逆向应用一些定理也是组合意义的一个方向：无损加密
  • 把限制转化成单侧的，这样计数顺序会更明显：Centroid Probabilities
  • 切换计数对象，简化计数的主体：stairs；去除不易处理的限制：count；添加限制转化为容易计数的对象：Two Pieces

3.1.2 容斥/反演

  • 最常见的容斥方法是枚举不合法的个数：Two Histograms、神经网络
  • 如果存在选取个数 \(\leq a_i\) 的限制，可以强制选取 \(a_i+1\) 个，然后记上 \(-1\) 的容斥系数：钥匙
  • \(\tt LGV\) 引理，原本求的是偶数逆序对的不交路径减去奇数逆序对的不交路径。在特殊的图中（比如网格图，数轴）可以直接求不交路径数量：无损加密，如果终点未知还可以考虑 \(dp\) 计算行列式：Random Robots
  • 容斥的另一种思考方向，先给出一种会算重的计数方法，然后找出这种计数方法算重的原因，然后对这个算重的原因容斥：树；比如经典模型 \(\tt DAG\) 计数，就是容斥入度为 \(0\) 的点：Finding satisfactory solutions；类似的基环树计数，可以容斥叶子：人类补完计划
  • 集合划分容斥，用于解决相等关系的限制，直接对边数容斥即可：Distinct Multiples

3.1.3 统计方法

  • 思考答案的形式，然后思考在哪里统计，如果答案是区间则可以在端点处统计：Chords；如果答案是树上的点集，那么可以在其 \(\tt lca\) 处统计（写成代码就是在合并子树的时候统计）：Vladislav and a Great Legend
  • 思考统计的顺序，确定合理的顺序可以让式子变得更简单，通常有偏序关系就意味着可能需要思考顺序：Inversions；分步统计，逐步确定的方法也是重要的：钥匙；为保证顺序，还可以在一次计数中结合不同的计数方法：模拟赛3-A；可以先确定一个大致的顺序，然后在转移时修正它：Square Constraints
  • 关于去重方法，可以考虑给同构的方案增加限制：Piling Up；比较无脑的去重方法，考虑一种方案会被计算多少次，然后用除法去重：Fox And Travelling；如果要考虑无序的子结构，可以考虑隔板法去重：Shake It!

3.1.4 常见模型

  • 卡塔兰数模型，可以解决在网格图中行走但是不越过某条直线的方案数：Ball Eat Chameleons
  • 斯特林数模型，可以在 \(n\) 大 \(k\) 小的情况下优化计算 \(n^k\)：Vladislav and a Great Legend
  • 本质不同字符串计数的问题，直接考虑建立 \(\tt DFA\)：Strange Operation

3.1.5 概率期望

  • 注意利用等概率的性质，比如转等概率环，可以把总体的方案放到单点上去：Wine Thief、也可以方便地计算总方案数：AmShZ Farm
  • 如果题目保证了出现的概率，那么这题可能就是基于概率来寻找关键点：James and the Chase
  • 拆分。独立变量的概率常常可以拆分，这样可以分步解决问题：Strongly Connected Tournament；概率对期望的拆分十分重要，可以完成期望对概率的转化：Shuffles Cards、Gachapon
  • 概率期望类型的题目中，一些前缀 \(/\) 差分类型的转化往往能够简化问题：地震后的幻想乡

3.2 基础方法

3.2.1 势能法/均摊法

  • 适合势能法的题目有一些特征，比如覆盖问题：小Z与函数；染色问题：Intervals of Intervals、亿块田（位运算可以看成数位的颜色段均摊）；区间合并与分裂问题（通常是维护的东西具有单调性，可以把值相同的一段看成区间的题目）：货币、Holy Diver
  • 使用势能法时，可以从一些感性的角度，通过定义势能函数来入手：Souvenirs
  • 尽管有时候操作比较复杂，但是若是具有 某变量一定减少 的性质，就可以通过加速一些简单的过程来优化：Addition and Andition；可以通过一些简单的操作变换，使得减少量和花费的时间之间对应起来：五彩斑斓的世界
  • 势能线段树，可以维护区间取 \(\min\)、区间除法等操作：浅谈势能线段树在特殊区间问题上的应用、Cartesian Tree、Stations
  • 均摊法最重要的是分析总体复杂度，所以一些暴力的操作可能看起来很慢但是总体复杂度优秀：Berland Miners

3.2.2 拆分法

使用拆分法时，最重要的是保证独立性。

  • 如果题目中存在时间顺序，可以把这个顺序破除来保证独立性（即换一个顺序计算）：Addition and Andition
  • 可以对左右端点拆分来优化，比如应用到区间 \(dp\) 问题：Student's Camp；可以拆分之后分别计算：Cartesian Tree
  • 高维问题可以考虑拆分成独立的低维问题：Berserk Robot、Jumping sequence
  • 拆分法可以用来集中限制，比如把两个主体间的限制拆开，等效到一个主体上：Drazil and His Happy Friends；拆分法还可以分解限制，可以把区间限制拆开，分解到单点上：模拟赛2-B
  • 线段树可以理解成对二进制数位的拆分，有些题目可能利用线段树来拆分：Xor-Set

3.2.3 调整法

调整法的使用过程是：选取初始状态（Sergey's problem）、确定调整方式。

  • 有很多匹配问题具有神奇结论，证明可以考虑调整法：Modulo Pairing、Bear and Cavalry
  • 如果某问题连判定合法性都困难，还要求你最优化的话，那么大胆使用调整法。从最优状态开始调整，使用最小代价来达成合法性（这样可以两个愿望一次满足）：Two Faced Cards、Chips Challenge
  • 邓老师调整法，从一个合法状态开始，然后对它进行微调使得权值变大 \(/\) 变小：邓老师调整法、Pastoral Oddities
  • 可以用调整法来研究最优解满足的性质，这时候使用一些简单的不等关系是重要的：遇到困难睡大觉、转盘、Max Correct Set
  • 两种决策的问题可以考虑主一副二的方法，先固定一个，然后用另一个调整以获得最优解：Squares
  • 连续型问题向离散型问题的转化，可以通过调整法证明只会取到端点值：Parametric MST、Levko and Game

3.2.4 分治法/倍增法

  • 矩形问题可以考虑交替分治，加上点双指针单调性什么的可以做到优秀复杂度：Empty Rectangles
  • 类似后缀数组的倍增技巧，优化的重点是充分利用上一层的信息：Minimal String Xoration、月球列车
  • 使用倍增法的重要步骤是结合单次询问分析，找到关键的固定的可加速过程，然后倍增：麻烦的杂货店、Hopping Around the Array
  • 倍增是基于二进制的，所以某些异或问题用倍增有奇效：温故而知新
  • 确定唯一的后继就可以倍增，可以认为地让这个后继满足一些优良性质：唱诗

3.2.5 神奇复杂度

3.2.6 根号相关

  • 总和一定时，注意种类 \(\sqrt n\) 的结论：Snowy Mountain、Tree Degree Subset Sum
  • 值域分治。在位运算和四则运算混合时，预处理时先最大化前一半的数位，再最大化后一半的数位，预处理和询问平衡做到 \(O(n\sqrt n)\) 之类的复杂度：In a Trap；暴力前一半，状压后一半，可以做到 \(O(\sqrt n)\)：进制转换；值域分块带有天然的偏序关系，在偏序关系限制比较严格的时候可以尝试使用：Set Merging
  • 根号分治。把种类按照出现次数分类已经是老生常谈了，但是注意分治后的情况下具有的性质：众数、Huffman Coding on Segment；序列跳跃问题可以直接对后继的距离根号分治：Summer Oenothera Exhibition
  • 操作分块。结构变化且复杂的题目可以考虑每 \(O(\sqrt n)\) 个操作分成一块，分别处理。注意这样转化之后结构会变简单，可以把一些复杂的操作用暴力来实现：Jumping Through the Array

3.2.7 贡献法

贡献法最基础的用法就是改变和式的计算方式，使用贡献法时，首先确定贡献对象，然后思考这个对象在什么情况下会产生多大的贡献：Move by Prime

  • 多种情况下要统一贡献形式，可能需要钦定合适的贡献方式：钥匙（可以贪心匹配上的就贡献）
  • 基于大小关系比较的题目中，可以考虑使用 01-principle，即先考虑 \(01\) 序列的情况，再用贡献法推广：线段树

3.2.8 随机化

  • 扩大值域以减小出错概率。如果想通过行列式表示积和式的一些性质（比如是否为 \(0\)），那么可以扩大值域，直接计算行列式，出错的概率是极小的：亿些整理
  • 在出现频率差距较大时，随机抽样调查若干次可以获得想要的结果：Olha and Igor

3.2.9 枚举法

3.2.10 贪心法

  • 我们使用贪心时，尽可能要单一化贪心的对象，独立化贪心的代价。这需要我们观察代价的特点，使用拆分法对代价进行一些处理：[省选联考 2022] 序列变换；贪心对象多化一的处理：新年的腮雷

  • 统一代价的形式，这样更便于贪心的使用：Parametric MST；统一操作的形式，也便于贪心：Game Relics、Escape

  • 树上依赖贪心。如果存在先选父亲才能选儿子的限制时，弄出合并规则然后用堆维护：三角形、牛半仙的魔塔

  • 如果代价具有凸性，那么可以会指向堆贪心之类的做法：WYR-Leveling Ground

3.3 数据结构

这里并不是对数据结构的系统总结，而是总结了一些有意思的思维点，可能对你做数据结构有帮助，但是前提还是有扎实的数据结构基础，能对任何结构信手拈来。

3.3.1 问题转化

  • 写出操作的线性变换形式，就可以直接套用矩阵：密码箱
  • 删除操作，可以看成回退到上一时刻，可以用保留所有历史版本的主席树来支持回退：火车管理
  • 对一段区间内的分段函数求和，可以对把自变量当成版本，以位置来建立主席树：Tower Defense
  • 对于强制在线的问题，可以先思考离线怎么处理，然后套上可持久化数据结构：区间第k小

3.3.2 考虑限制

  • 切换限制的主体。很多时候从题目的方向直接翻译是行不通的，这时候弄清限制涉及到了哪些对象，然后通过选取其他对象的形式来重新表述限制，就达到了切换限制主体的效果：铃原露露
  • 保留有效限制。限制之间也存在偏序关系，如果通过一些技巧可以达到排除无效限制的效果，那么就可能把限制的总量规约到一个较小的数量集。比如树上启发式合并来考虑和 \(\tt lca\) 有关的限制：铃原露露、事情的相似度
  • 放宽限制。并不一定要在满足限制时检查，可以找维护一个合适的必要条件，把总检查次数限制在一定范围内：被创与地震
  • 收紧限制。对于限制较弱的问题，可以通过讨论特殊情况，使得要考虑的范围缩小：Path

3.3.3 确定维护对象

  • 尽量不要去维护有关特定值的信息，可以通过放宽条件的方式转化为维护最值：Bear and Bad Powers of 42、Into Blocks
  • 可以通过切换主体的方式来确定维护对象。譬如有 \(A\rightarrow B\) 的影响，从 \(A\) 的角度看是一种效果，从 \(B\) 的角度看又是另一种效果。根据修改与询问的特性变换角度，可以确定最为合适的维护对象：The Tree；先弄清维护的信息是什么，然后切换主体，保持维护信息的不变即可：前进四、诡异操作
  • 切换承载信息的主体，前提是原来的主体和新选取的主体之间可以建立对应关系：Nauuo and ODT；寻找决定性的对象，比如这个对象决定了答案，那么我们就尽力去描述它：区间和

3.3.4 思考如何维护

  • 如果难以对维护对象选取主元，那么考虑对称的维护两个对象：图论

  • 等效操作的思想是很重要的，当你切换维护对象之后，可以通过等效操作来适应现在所维护的东西：The Tree、数轴变换

  • 整体标记法。思考清楚整体标记对于单点的影响即可：Latin Square

  • 注意维护信息的顺序，比如有的问题只适合以一种顺序加入：Julia the snail

3.3.5 常见模型

  • 递归半边模型。其本质是离线与在线的结合，利用维护好的信息每次可以将考虑的区间折半。维护括号匹配：Nastya and CBS；维护极长上升子序列类的信息：转盘
  • 染色模型。一些类区间赋值类操作可以向染色模型转化：轻重边；区间求并的问题，可以扫描线加染色模型，也就是维护最晚被染的颜色：rrusq、区间本质不同子串个数
  • 猫树分治。主要作用是提供一个分治中点，比如可以把分治中点当成历史最大值的起点：rprmq1
  • 二进制分组。可以支持末尾的在线加入，搬到线段树上可以支持末尾删除和区间查询：Unknown
posted @ 2021-08-10 22:53  C202044zxy  阅读(18822)  评论(31)  编辑  收藏  举报