CF1097G Vladislav and a Great Legend

一、题目

点此看题

二、解法

其实这题挺难的，而且我觉得网上的题解讲的有点不清楚 \(...\)

看到题目要求的是 \(f(x)^k\) 并且 \(k\leq 200\)，搞一个傻逼斯特林反演即可：

\[\sum_{x}f(x)^k=\sum_x\sum_{i=1}^k S(k,i)\cdot i!\cdot {f(x)\choose i}=\sum_{i=1}^k S(k,i)\cdot i\cdot \sum_x{f(x)\choose i} \]

问题变成了对于所有虚树，求出恰好选 \(i\) 条边的方案数。这个问题并不好做，我们严格遵循 性质->状态->dp 的思路：

首先分析性质：虚树是由点集生成的，所以我们计数时要考虑点的状态（以点为主体）；再此基础上我们统计选出 \(i\) 条边的方案，这两步计数是分开的，但是我们可以放在一个 \(dp\) 中处理。

然后分析状态：我们想维护选出 \(i\) 条边的方案，而树上 \(dp\) 基本上是从子树合并这种情况入手的，我们考虑两棵虚树如何合并。我们已知的是 \(u\) 为根的原始树选出 \(j\) 条边的方案，还已知 \(v\) 为根的子树选出 \(k\) 条边的方案。相当于我们把某序列分成两部分，已知各部分的组合方案要求总数的组合方案，那么由枚举法可知把 \(j+k=i\) 的情况相乘然后累加上去即可，这样我们完成了虚树的合并。

最后设计 \(dp\)：设 \(f[u][i]\) 表示以 \(u\) 子树中的所有虚树中选出 \(i\) 条边的方案数（不一定要选 \(u\)），虚树合并转移：

\[g[i+j]\leftarrow f[u][i]\times f[v][j],g[i+j+1]\leftarrow f[u][i]\times f[v][j] \]

还有一个部分是考虑点的状态，在合并完之后我们考虑算出 \(u\) 以内的虚树\(+\) \(v\) 以内的虚树\(+\) \(u,v\) 的合并虚树 即可。第一三种情况好算，第二种情况讨论一下父边的是否选即可。

所以计算答案时必须要在合并时计算（要保证我们考虑的边在点集的作用下都可以生效），这样一种方案会在点集的 \(\tt lca\) 处统计到。

最后证明一下时间复杂度，合并转移时的边界是 \(\min(siz[u],k)\times \min(siz[v],k)\)，相当于从 \(u\) 子树中选出 \(\tt dfs\) 序后 \(k\) 个和 \(v\) 子树中 \(\tt dfs\) 序的前 \(k\) 个来算。考虑单个点的贡献，发现它只会和 \(\tt dfs\) 序相邻的左右 \(2k\) 个点转移并产生 \(1\) 的贡献，所以时间复杂度 \(O(nk)\)

三、总结

这道题说明组合数也是可合并的，不要被吓到了，按照思路步步分析即可。

对于第二维是背包合并的树 \(dp\)，设第二维大小是 \(k\)，可以知道复杂度大小是 \(O(nk)\) 的。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 205;
const int M = 100005;
const int MOD = 1e9+7;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,k,tot,f[M],ans[M],siz[M],dp[M][N],g[N],S[N][N];
struct edge
{
	int v,next;
}e[2*M];
void add(int &x,int y) {x=(x+y)%MOD;}
void dfs(int u,int fa)
{
	dp[u][0]=1;siz[u]=1;
	for(int x=f[u];x;x=e[x].next)
	{
		int v=e[x].v;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		for(int i=0;i<=min(siz[u],k);i++)
			for(int j=0;j<=min(siz[v],k);j++)
			{
				if(i+j>k) break;
				add(g[i+j],dp[u][i]*dp[v][j]);
				add(ans[i+j],dp[u][i]*dp[v][j]);
				add(g[i+j+1],dp[u][i]*dp[v][j]);
				add(ans[i+j+1],dp[u][i]*dp[v][j]);
			}
		siz[u]+=siz[v];
		for(int i=0;i<=k;i++)
		{
			add(dp[u][i],g[i]),g[i]=0;
			add(dp[u][i],dp[v][i]);
			if(i) add(dp[u][i],dp[v][i-1]);
		}
	}
}
signed main()
{
	n=read();k=read();
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u=read(),v=read();
		e[++tot]=edge{v,f[u]},f[u]=tot;
		e[++tot]=edge{u,f[v]},f[v]=tot;
	}
	dfs(1,0);
	S[0][0]=1;int res=0,fac=1;
	for(int i=1;i<=k;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j)%MOD;
	for(int i=1;i<=k;i++,fac=fac*i%MOD)
		add(res,S[k][i]*fac%MOD*ans[i]);
	printf("%lld\n",res);
}