[省选联考 2021 A/B 卷] 滚榜

一、题目

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二、解法

考试时把题目看错了，没有注意到 \(a_i\) 不降的条件。

考虑要求的东西是可能的排名情况，也就是求合法排列个数，状压可以将 \(O(n!)\) 的排列枚举优化成 \(O(2^n)\)，那么这道题肯定会用上它。

如果我们不考虑 \(a_i\) 不降的限制，发现这个题根本做不出来。因为你不知道某集合的最大值是谁，就算你记录了是谁也不知道是多少。那么考虑把 \(a_i\) 不降当成条件而非限制。

某东西不降可以自然的联想到差分技巧，也就是当前我们把某个人 \(i\) 的过题数增加 \(x\)，那么不在状压集合里的人的过题数也增加 \(x\)，下次考虑到某个人 \(j\) 的时候 \(i,j\) 的相对过题差值就没有变化，可以当成初始过题数来考虑，所以我们只需要记录最大值是哪个人即可。

设 \(dp[s][i][k]\) 为考虑集合 \(s\) 中的人，最后公布排名的人是 \(i\)，已经分配的过题数是 \(k\) 的顺序情况数，转移考虑刷表法，枚举下一个公布排名的人 \(j\)，设 \(w(j,i)\) 表示初始情况下 \(j\) 超过 \(i\) 的最小过题数乘以剩下的总人数，转移：

\[dp[s|2^j][j][k+w(j,i)]\leftarrow dp[s][i][k] \]

话说 \(\tt CCF\) 给的时间复杂度越来越离谱了，\(O(2^nn^2m)\) 看上去就跑不动啊 \(...\)

三、总结

做题时我们会忽略某限制来做，再考虑加上某限制。但如果忽略某限制做不起就一定要注意了，可以把限制当成条件！

差分技巧的使用十分关键，\(dp\) 的时候差分放状态里可以叫消耗提前计算。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define make make_pair
#define ll long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m;pii mx,a[15];ll ans,dp[1<<13][15][505];
int w(pii a,pii b)
{
	int t=b.first-a.first;
	return max(0,t+(b.second<a.second));
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		a[i]=make(read(),i);
		if(mx.first<a[i].first) mx=a[i];
		if(mx.first==a[i].first && mx>a[i]) mx=a[i];
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int t=n*w(a[i],mx);
		if(t<=m) dp[1<<i][i][t]=1;
	}
	for(int s=0;s<(1<<n);s++)
	{
		int t=__builtin_popcount(s);
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			if((s&(1<<i))==0) continue;
			for(int l=0;l<=m;l++)
			{
				if(dp[s][i][l]==0) continue;
				for(int j=0;j<n;j++)
				{
					if(s&(1<<j)) continue; 
					int r=(n-t)*w(a[j],a[i]);
					if(l+r<=m)
						dp[s|(1<<j)][j][l+r]+=dp[s][i][l];
				}
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
			ans+=dp[(1<<n)-1][i][j];
	printf("%lld\n",ans);
}