[APIO2020] 交换城市
一、题目
二、解法
显然是连通性问题，直接最小生成树不好做，可以考虑 \(\tt kruskall\) 重构树。
首先考虑 \(x,y\) 能相互到达的充要条件，其实除了连通块是链的情况，都可以到达。转化一下就是连通块中存在度数大于等于 \(3\) 的点或者边数大于等于点数。
我们把边权从小到大排序然后依次加入，如果加入某条边之后的连通块不合法，那么我们先维护这个连通块的结构，再后面的边把这个连通块激活的时候再替换根的边权，询问的时候直接查 \(\tt lca\) 即可。
三、总结
总结一下重构树的适用范围：对连通块有特殊限制的连通性问题；在某个时刻的连通块内查询的问题。
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include "swap.h"
using namespace std;
const int M = 200005;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,fa[M],p[M][20],dep[M],fl[M],val[M],d[M];
vector<int> g[M];
struct node
{
int u,v,c;
bool operator < (const node &b) const
{
return c<b.c;
}
}a[M];
int find(int x)
{
if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
void uni(int x,int y,int c)
{
++d[x];++d[y];
int u=find(x),v=find(y);
if(u!=v)
{
fa[u]=fa[v]=++n;
g[n].push_back(u);
g[n].push_back(v);
val[n]=c;
fl[n]=fl[u]|fl[v]|(d[x]>=3)|(d[y]>=3);
}
else if(!fl[u]) fl[u]=1,val[u]=c;
}
void dfs(int u)
{
dep[u]=dep[p[u][0]]+1;
if(!fl[u] && fl[p[u][0]])
fl[u]=1,val[u]=val[p[u][0]];
for(int i=1;i<20;i++)
p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
for(int v:g[u])
p[v][0]=u,dfs(v);
}
int lca(int u,int v)
{
if(dep[u]<=dep[v]) swap(u,v);
for(int i=19;i>=0;i--)
if(dep[p[u][i]]>=dep[v])
u=p[u][i];
if(u==v) return u;
for(int i=19;i>=0;i--)
if(p[u][i]^p[v][i])
u=p[u][i],v=p[v][i];
return p[u][0];
}
void init(int N,int M,vector<int> U,vector<int> V,vector<int> C)
{
n=N;m=M;
for(int i=1;i<=2*n;i++)
fa[i]=i;
for(int i=0;i<m;i++)
a[i+1]=node{U[i]+1,V[i]+1,C[i]};
sort(a+1,a+1+m);
for(int i=1;i<=m;i++)
uni(a[i].u,a[i].v,a[i].c);
dfs(n);
}
int getMinimumFuelCapacity(int x,int y)
{
int t=lca(x+1,y+1);
if(fl[t]) return val[t];
return -1;
}
/*
signed main()
{
int n=read(),m=read(),q;
vector<int> u,v,c;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
u.push_back(read());
v.push_back(read());
c.push_back(read());
}
init(n,m,u,v,c);q=read();
while(q--)
{
int u=read(),v=read();
printf("%d\n",getMinimumFuelCapacity(u,v));
}
}
*/
