[HDU 6157] The Karting

一、题目

题目描述

有 $n$ 个点排成一列，相邻两个点之间连边，$i$ 到 $i+1$ 的双向边代价是 $a_i$，转向的代价是 $a_0$，现在我们想选出 $m$ 个点，可以构成若干个回路，每个点最多被选一次，起点也算一次转向，试最大化代价。

比如选出的点是 1,3,2,4，那么回路是 1,2,3,2,3,4,3,2,1

数据范围

$2\leq m\leq n\leq 100,-100\leq a_i\leq 100$

二、解法

考虑回路上经过的每个点是困难的，所以我们只考虑端点，然后用前缀和计算回路的贡献。

用 $dp$ 来处理端点，设 $dp[i][j][k]$ 表示前 $i$ 个点中，选出了 $j$ 个端点，其中从左往右的端点比从右往左的端点多了 $k$ 个（$k\geq 0$），转移考虑当前点的状态，一共四种情况：

• 不选这个点：$dp[i][j][k]\leftarrow dp[i-1][j][k]$
• 选了这个点但是不作为端点，随便从此经过：$dp[i][j][k]\leftarrow dp[i-1][j-1][k]$
• 选了这个点作为从左往右的端点：$dp[i][j][k]\leftarrow dp[i-1][j-1][k-1]+a_0-2\cdot s[i]$
• 选了这个点作为从右往左的端点：$dp[i][j][k]\leftarrow dp[i-1][j-1][k+1]+a_0+2\cdot s[i]$

因为要走回去，所以答案是 $dp[n][m][0]$，时间复杂度 $O(n^3)$

三、总结

选端点作为 $dp$ 的主体，转移中用到了费用提前计算的思想。

此外对于匹配问题（比如这道题是端点的配对），首先拆解贡献到匹配点上，考虑到某一个匹配点时候带着贡献和需要匹配的记号转移，这样就能够保证转移的顺序性。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 105;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,a[M],dp[M][M][M];
void cmax(int &x,int y)
{
	x=max(x,y);
}
void work()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=a[i-1]+read();
	memset(dp,-0x3f,sizeof dp);
	dp[0][0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i][0][0]=0;
		for(int j=1;j<=m;j++)
			for(int k=0;k<=j;k++)
			{
				cmax(dp[i][j][k],dp[i-1][j][k]);
				cmax(dp[i][j][k],dp[i-1][j-1][k]);
				if(k) cmax(dp[i][j][k],dp[i-1][j-1][k-1]+a[1]-2*a[i]);
				cmax(dp[i][j][k],dp[i-1][j-1][k+1]+a[1]+2*a[i]);
			}
	}
	printf("%d\n",dp[n][m][0]);
}
signed main()
{
	while(~scanf("%d %d",&n,&m))
		work();
}