CF1517F Reunion

一、题目

点此看题

二、解法

直接统计难得很，很容易想到把问题转化成统计半径 \(\geq r\) 的圆的个数。

现在还是很不好做，因为限制是 存在一个点是的周围白点构成半径>=r的圆，很容易算重。

做第二步转化：对于所有黑点周围<=r的点的并集不是所有点，这是一个染色问题，可以 \(dp\) 了，考虑状态中记录黑点往上覆盖的最远距离，或者是子树内最深的还没有被覆盖的点。这两个信息只有一个有效，因为如果子树内有没有被覆盖的点，设点 \(x\) 能覆盖这个点，那么点 \(x\) 的覆盖范围一定是子树内黑点往上覆盖范围的超集。

可以压在一个 \(dp\) 数组里面写，设 \(dp[u][i]\) 表示在子树 \(u\) 内，\(i\geq 0\) 则子树内黑点往上覆盖的最远距离是 \(i\)，\(i<0\) 则表示子树内最深没覆盖点的深度是 \(i+1\)，转移讨论 \(4\) 种情况即可，因为 \(i\) 的有效取值 \(\leq siz[u]\)，所以时间复杂度是 \(O(n^2)\) 的，在外面统计所有 \(i<0\) 的情况即可，总时间复杂度 \(O(n^3)\)

三、总结

转化的艺术，第一步转化是常见套路：差分。

第二步转化就很神奇了，我在这里断言计数问题中所有限制问题优于存在限制问题，转化完就不会算重了。

\(dp\) 的设计可以想到：小范围讨论除去无效状态，这个 \(\tt trick\) 在阿七那题里也有。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define make make_pair
const int M = 305;
const int sh = 300;
const int MOD = 998244353;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,r,tot,ans,f[M],dp[M][M<<1];
struct edge
{
    int v,next;
}e[2*M];
void add(int &x,int y)
{
    x=(x+y)%MOD;
}
void adds(int u,int v)
{
    vector<pii> v1,v2;
    for(int i=0;i<=2*sh;i++)
    {
        if(dp[u][i])
            v1.push_back(make(i-sh,dp[u][i])),dp[u][i]=0;
        if(dp[v][i])
            v2.push_back(make(i-sh,dp[v][i]));
    }
    for(int x=0;x<v1.size();x++)
        for(int y=0;y<v2.size();y++)
        {
            int i=v1[x].first,j=v2[y].first;
            int w=v1[x].second*v2[y].second%MOD;
            if(i<0 && j<0) add(dp[u][min(i,j-1)+sh],w);
            if(i>=0 && j<0) add(dp[u][(i+j>=0?i:j-1)+sh],w);
            if(i<0 && j>=0) add(dp[u][(i+j>=0?j-1:i)+sh],w);
            if(i>=0 && j>=0) add(dp[u][max(i,j-1)+sh],w);
        }
}
void dfs(int u,int fa)
{
    dp[u][r+sh]=dp[u][-1+sh]=1;
    for(int t=f[u];t;t=e[t].next)
    {
        int v=e[t].v;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        adds(u,v);
    }
}
signed main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        e[++tot]=edge{v,f[u]},f[u]=tot;
        e[++tot]=edge{u,f[v]},f[v]=tot;
    }
    for(r=1;r<=n;r++)
    {
        memset(dp,0,sizeof dp);
        dfs(1,0);
        for(int i=0;i<sh;i++) add(ans,dp[1][i]);
    }
    int inv=(MOD+1)/2;
    ans=(ans-1+MOD)%MOD;//all is busy
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans*inv%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
}