Codeforces Round #618 (Div. 1)

E. So Mean

题目描述

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解法

其实我自己快做出来了，说出来我自己都不信，构造题就是要多观察：

虽然看到这题没什么思路，但是我们可以乱手玩一下，因为询问限制较弱我们就考虑先确定一个数吧，可以询问每组 \(n-1\) 个数，设没询问的数是 \(i\)，我们可以提前算出他们的求和是：

\[1+2+...+(i-1)+(i+1)+....+n=\frac{n(n+1)}{2}-i=\frac{1\cdot 2}{2}-i=1-i\mod(n-1) \]

不难发现当且仅当 \(i=1\or i=n\) 时回答是YES，由于出题人善良的提示我们知道我们是区分不出来 \(1\) 和 \(n\) 的，因为整个数列的值可以全部翻转但还是符合所有的询问，所以随意指定即可，现在我们得到了 \(1\) 和 \(n\) 的具体位置。

那么能不能扩展上面的做法呢？能不能用类似的方法确定 \(2\) 和 \(n-1\) 呢？假设我们已经确定了 \(k\) 对这样的数，那么剩下的数是 \([k+1,n-k]\)，我们询问每组 \(n-2k-1\) 个数，可以提前计算出求和，技巧是把所有数提出 \(k\)：

\[k+1+...+(n-k)-i=k\cdot (n-2k-1)+\frac{(n-2k)(n-2k+1)}{2}-(i-k)=1-(i-k)\mod (n-2k-1) \]

当且仅当 \(i=k+1\or i=n-k\) 的时候回答是 YES，所以我们可以得到 \(k+1\) 和 \(n-k\) 的具体位置。

分析一下现在的总操作数：\(n+(n-2)+(n-4)...=\frac{n^2+2n}{4}\)，还不能过题。

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如果说上面东西还是人能想到的话，下面就是神仙操作了。注意到这题的信息是和取模有关的，可以求算出每个数模某个数的余数，然后用中国剩余定理拼起来，这道题我们选模数 \(3,5,7,8\)，他们是互质的，而且 \(3\cdot 5\cdot 7\cdot 8=840\geq 800\geq n\)，为了能用这些模数我们先用暴力方法处理出前 \(8\) 个数，消耗 \(5n\) 步。

考虑怎么求算每个数模 \(3\) 的余数，我们可以先用 \(1,2\) 和这个数问一下看是不是 \(3\) 的倍数，然后用 \(1,3\) 和这个数问一下看模 \(3\) 是否为 \(2\)，剩下的模 \(3\) 为 \(1\)，消耗步数 \(n+\frac{2n}{3}\)，模 \(5\) 和 模 \(7\) 都类似，消耗步数分别是 \(n+\frac{4n}{5}...+\frac{2n}{5}\) 和 \(n+\frac{6n}{7}...+\frac{2n}{7}\)

对于 \(8\) 我们不能类似地用 \(n+\frac{7n}{8}...+\frac{2n}{8}\)，由于 \(8\) 是 \(2\) 的幂次我们可以考虑倍增，首先花 \(n\) 步得知它的奇偶性，然后用 \(1,2,3\) 来区分 \(4k\) 和 \(4k+2\)，用 \(1,2,4\) 来区分 \(4k+1\) 和 \(4k+3\)，又花费 \(n\) 步。我们用 \(1,2,3,n-3,n-2,n-1,n\) 来区分 \(8k\) 和 \(8k+4\)，\(8k+1\) 和 \(8k+5\) 等也同理，再花费 \(n\) 步。

现在计算一下总步数为 \(15.324n\)，然后这个题变成了大模拟，所以我没打代码。