[多校联考2021] 模拟赛3

边

题目描述

本题中所有的图都指的是无重边无自环的无向图。

定义正则图为每个点度数都相等的图，\(k\) 正则图为每个点度数都为 \(k\) 的图，偶正则图为每个点度数都为偶的图。

有一张偶正则图，构造删边方案使之变成 \(2\) 正则图（就是若干个环）。

\(n,m\leq 10^5\)

解法

首先有一个经典问题，如果是有向图要求环的话，我们把每个点拆成入点和出点，跑二分图匹配就可以得到答案。

但是这道题给的是无向图，那么给无向图的每条边定向就可以用有向图的方法了。注意到每个点的度数都是偶数且相等这个关键条件，可以跑原图的欧拉回路来定向，这样每个点就有 \(k\) 个入边和 \(k\) 个出边了。

但是我们要证明转化过来的有向图也一定能求出解才算严谨。根据 \(\tt Hall\) 定理：如果 \(X\) 部的任意若干个点至少和 \(Y\) 部等量的点相邻，那么这个图存在完备匹配。考虑 \(X\) 部的 \(x\) 个点，至少向 \(Y\) 部连了 \(kx\) 个边，如果对应的点数小于 \(x\) 说明存在度数大于 \(k\)，矛盾，故一定会有解。

最后再说一些关于欧拉回路的细节，因为这题的欧拉回路是要把每个边访问一遍，正常的欧拉回路是访问每个点，所以在 \(\tt dfs\) 的时候要 充分的扩展，一条路走到黑是不行的，所以有一个地方不要 \(\tt break\)

二分图匹配用 \(\tt dinic\)，总所周知复杂度是 \(O(m\sqrt m)\) 的。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
const int M = 200005;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,k,tot,s,t,f[M],cur[M],dis[M];
vector<int> g[M];map<int,int> mp[M];
struct edge
{
	int v,c,next;
}e[10*M];
void add(int u,int v,int c)
{
	e[++tot]=edge{v,c,f[u]},f[u]=tot;
	e[++tot]=edge{u,0,f[v]},f[v]=tot;
}
void euler(int u)
{
	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	{
		int v=g[u][i];
		if(!mp[u][v])
		{
			mp[u][v]=mp[v][u]=1;
			add(u+n,v,1);//出点和入点连边
			euler(v);
			//break;
		}
	}
}
int bfs()
{
	queue<int> q;
	for(int i=0;i<=t;i++) dis[i]=0;
	q.push(s);dis[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();q.pop();
		if(u==t) return 1;
		for(int i=f[u];i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].v;
			if(!dis[v] && e[i].c>0)
			{
				dis[v]=dis[u]+1;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return 0;
}
int dfs(int u,int ept)
{
	if(u==t) return ept;
	int flow=0,tmp=0;
	for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;
		if(dis[v]==dis[u]+1 && e[i].c>0)
		{
			tmp=dfs(v,min(ept,e[i].c));
			if(!tmp) continue;
			ept-=tmp;
			flow+=tmp;
			e[i].c-=tmp;
			e[i^1].c+=tmp;
			if(!ept) break;
		}
	}
	return flow;
}
signed main()
{
	freopen("edg.in","r",stdin);
	freopen("edg.out","w",stdout);
	n=read();m=read();
	s=0;t=2*n+1;tot=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read();
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u); 
	}
	euler(1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		add(s,i+n,1),add(i,t,1);
	while(bfs())
	{
		for(int i=0;i<=t;i++) cur[i]=f[i];
		k+=dfs(s,inf);
	}
	for(int i=2;i<=tot;i++)
	{
		int u=e[i].v,v=e[i^1].v;//考虑的是反向边 
		if(u<=2*n && u>n && v<=n && v>=1 && e[i].c)
			mp[u-n][v]=mp[v][u-n]=0;
	}
	printf("%d\n",m-k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<g[i].size();j++)
			if(i<g[i][j] && mp[i][g[i][j]])
				printf("%d %d\n",i,g[i][j]);
}