[模板] 带修莫队

一、题目

点此看题

其实是一道带修莫队的模板题啊。

二、解法

普通莫对其实是一个二维的信息 \((l,r)\)，既然要支持修改，我们添加一个信息表示这个询问用到的修改是 \([1,t]\)，那么我们可以用一个三维信息来表示一个询问 \((l,r,t)\)

排序的方法是这样的：先判断 \(l\) 在不在一个块内，不在一个块内就直接排；再判断 \(r\) 在不在一个块内，不在一个块内就直接排；最后按 \(t\) 从小到大排序。排完序之后直接按普通莫队的做法做就行，实现代码如下：

bool operator < (const node &b) const
{
	if(pos[l]!=pos[b.l]) return l<b.l;
	if(pos[r]!=pos[b.r]) return r<b.r;
	return t<b.t;
}

本文的重点是证明待修莫对的时间复杂度，时间消耗主要分成三个部分，设块长为 \(a\)：

• \(t\) 轴的移动时间复杂度，因为 \((l,r)\) 的组合只有 \(\frac{n^2}{a^2}\) 种，每一种的时间消耗为 \(t\)，总时间复杂度 \(O(\frac{n^2}{a^2}t)\)
• 如果 \(l,r\) 所在块相同那么 \(l,r\) 的移动复杂度为 \(O(na)\)，可以看做每一个询问都在块里面乱动。
• \(l\) 从一个块到另一个块时 \(r\) 移动的时间复杂度为 \(O(\frac{n^2}{a})\)，单次是 \(O(n)\) 的乘上的块的个数。

\(a\) 一般取 \(O(n^{\frac{5}{3}})\)，我习惯于把块长设为定值。还有这道板题有一个细节，就是我们要在修改处记录修改之前的权值，这样就方便回退了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 200005;
const int sq = 2412;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,k,ans,ln,l,r,t,res[M],cnt[5*M];
int a[M],b[M],c[M],d[M],pos[M];char s[M];
struct node
{
	int l,r,t,id;
	bool operator < (const node &b) const
	{
		if(pos[l]!=pos[b.l]) return l<b.l;
		if(pos[r]!=pos[b.r]) return r<b.r;
		return t<b.t;
	}
}q[M];
void add(int x)
{
	if(cnt[x]==0) ans++;
	cnt[x]++;
}
void del(int x)
{
	cnt[x]--;
	if(cnt[x]==0) ans--;
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		pos[i]=(i-1)/sq+1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s",s);
		int l=read(),r=read();
		if(s[0]=='Q') q[++ln]=node{l,r,k,ln};
		else k++,b[k]=l,c[k]=r;
	}
	sort(q+1,q+1+ln);
	l=1;r=0;t=0;
	for(int i=1;i<=ln;i++)
	{
		int L=q[i].l,R=q[i].r,T=q[i].t;
		while(L<l) add(a[--l]);
		while(L>l) del(a[l++]);
		while(R>r) add(a[++r]);
		while(R<r) del(a[r--]);
		while(t<T)//增加t这个修改 
		{
			t++;
			if(l<=b[t] && b[t]<=r) del(a[b[t]]);
			d[t]=a[b[t]];//记录下修改之前的信息 
			a[b[t]]=c[t];
			if(l<=b[t] && b[t]<=r) add(a[b[t]]);
		}
		while(t>T)//回撤t这个修改
		{
			if(l<=b[t] && b[t]<=r) del(a[b[t]]);
			a[b[t]]=d[t];
			if(l<=b[t] && b[t]<=r) add(a[b[t]]);
			t--;
		}
		res[q[i].id]=ans;
	}
	for(int i=1;i<=ln;i++)
		printf("%d\n",res[i]);
}