无标号无根树计数

一、题目

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二、解法

首先来介绍一下 \(\tt Euler\) 变换，一个比较新鲜的前置知识。

定义 \(F(x)\) 的欧拉变换为：

\[\mathcal E(F(x))=\prod_{i=1}^n(\frac{1}{1-x^i})^{f_i} \]

有一个很明显的组合意义是 \(F(x)\) 为 \(n\) 个点满足某种条件的连通图数量，\(\mathcal E(F(x))\) 为 \(n\) 个点满足某种条件的图的数量，也相当于每一种物品有 \(f_i\) 种选法，而且可以任意多个的方案数。

欧拉变换还有另一个更有用的导出柿子，但是需要我们来推一推，首先我们看到求乘积可以尝试去对数，设 \(G(x)=\mathcal E(F(x))\)：

\[\ln G(x)=-\sum_{i=1}^nf_i\ln(1-x^i) \]

利用 \(\ln'(x)=x\) 的性质，我们对上面的柿子两边对 \(x\) 求导：

\[\frac{G'(x)}{G(x)}=\sum_{i=1}^nf_i\frac{ix^{i-1}}{1-x^i} \]

把 \(\frac{1}{1-x^i}\) 这东西做闭形式展开，那么：

\[\frac{G'(x)}{G(x)}=\sum_{i=1}^n f_i\sum_{j=0}^\infty ix^{(j+1)i-1} \]

然后积分回去（其实就是求导的逆变换）：

\[\ln G(x)=\sum_{i=1}^n f_i\sum_{j=1}^\infty\frac{x^{ij}}{j} \]

\[\ln G(x)=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{j}\sum_{i=1}^nf_i(x^j)^i \]

\[\ln G(x)=\sum_{j=1}^\infty \frac{F(x^j)}{j} \]

\[\mathcal E(F(x))=\exp\sum_{j=1}^\infty \frac{F(x^j)}{j} \]

第一个柿子是定义式，通常用欧拉变换都用导出柿子。

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回到本题，无标号无根树不是很好算，我们先考虑能不能算有标号有根树，再通过一些神奇的操作把答案算出来。设 \(g_n\) 为大小为 \(n\) 的无标号有根树的数量，那么我们枚举根是什么，再枚举它的子树：

\[g_n=[x^{n-1}]\prod_{i=1}^\infty (\frac{1}{1-x^i})^{g_i} \]

使用欧拉变换，写成生成函数的形式：

\[g(x)=x\prod_{i=1}^\infty(\frac{1}{1-x^i})^{g_i} \]

\[g(x)=x\exp\sum_{t=1}^\infty\frac{g(x^j)}{j} \]

\[\ln(\frac{g(x)}{x})=\sum_{t=1}^\infty\frac{g(x^j)}{j} \]

尝试使用牛顿迭代，设 \(f(g(x))=\ln(\frac{g(x)}{x})-\sum_{t=1}^\infty\frac{g(x^j)}{j}\)，假设我们已经求出了在模 \(x^n\) 意义下的 \(g_0(x)\)，现在要求出模 \(x^{2n}\) 意义下的 \(g(x)\)，那么有这样一个柿子：

\[g(x)=g_0(x)-\frac{f(g_0(x))}{f'(g_0(x))}\mod x^{2n} \]

设 \(\alpha=\sum_{t=2}^\infty\frac{g(x^j)}{j}=\sum_{t=2}^\infty\frac{g_0(x^j)}{j}\)，然后把 \(f(g(x))\) 换一下：

\[f(g(x))=\ln(\frac{g(x)}{x})-g(x)-\alpha \]

先把 \(f'(g_0(x))\) 算出来，可以用内求导\(\times\)外求导，要把里面的 \(\frac{1}{x}\) 当成常数才行，\(\alpha\) 也是常数：

\[f'(g_0(x))=\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{g_0(x)}-1 \]

然后直接带入牛顿迭代：

\[g(x)=g_0(x)-\frac{\ln(\frac{g(x)}{x})-g(x)-\alpha}{\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{g_0(x)}-1}\mod x^{2n} \]

因为 \(g_0\) 没有常数项所以不能求逆元，设 \(g_1(x)=\frac{g_0(x)}{x}\)，还要略微变化一下：

\[\frac{g(x)}{x}=g_1(x)-\frac{\ln(\frac{g(x)}{x})-g(x)-\alpha}{\frac{1}{g_1(x)}-x}\mod x^{2n} \]

然后就可以愉快地牛顿迭代了，时间复杂度 \(O(n\log n)\)，但是常数有亿点大

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最后考虑怎么从无标号有根树转到无标号无根树，可以使用容斥，用有根的方案减去根不是重心的方案数，根不是重心等价于有一个子树大小大于等于 \(\frac{n}{2}+1\)，那么枚举这个子树大小即可：

\[g_n-\sum_{k\geq\frac{n}{2}+1}g_k\cdot g_{n-k} \]

但是当 \(n\) 为偶数的时候可能会出现两个重心的情况，这时候只能统计一次，所以此时还要减掉 \({g_{n/2}\choose 2}\)

没有代码啊