[国集论文笔记] 浅谈保序回归问题
1.前言
这个东西其实就是把国家集训队的论文照抄下来，但是由于作者会加一些自己的理解（相当于是加注释），希望能让原本晦涩的论文好懂一些，也方便自己复习。
由于我看得比较慢，所以这篇文章可能更新得很慢
2.保序回归问题
偏序关系
设 \(R\) 是集合 \(S\) 上的一个二元关系，若 \(R\) 满足：
- 自反性：\(\forall x\in S\)，有 \(x\space R\space x\)
- 反对称性：\(\forall x,y\in S\)，若有 \(x\space R\space y,y\space R\space x\)，则有 \(x=y\)
- 传递性：\(\forall x,y,z\in S\)，若有 \(x\space R\space y,y\space R\space z\)，则有 \(x\space R\space z\)
那么就称为 \(R\) 为 \(S\) 上的非严格偏序关系，记作 \(\preceq\)
这个东西感性理解一下就行，\(oier\) 谁管这些定义？
问题描述
我们有一张 \(n\) 个点的表示偏序关系的有向图，给定两个代价数组 \(y\) 和 \(w\)，每条边表示连接的两个点之间有直接的偏序关系，那么图上两个点满足 \(v_i\preceq v_j\) 当且仅当在图上有一条简单路径。
求数组 \(f\) 满足 \(\forall v_i\preceq v_j\)，都有 \(f_i\leq f_j\)，那么最小化回归代价：
对于 \(p\) 相同的保序回归，我们称之为 \(L_p\) 问题。
所以为什么要叫保序回归问题？因为他能在保证顺序（偏序关系）的情况下最小化回归代价
一些约定
将序列 \(z\) 中不超过 \(a\) 的元素变为 \(a\)，不小于 \(b\) 的元素变为 \(b\) 称为序列 \(z\) 向集合 \(S=\{a,b\}\) 取整
点集 \(U\) 的 \(L_p\) 均值为满足 \(\sum_{v_i\in U}w_i|y_i-k|^p(1\leq p<\infty)\) 或者 \(\max_{v_i\in U}w_i|y_i-k|\) 最小的 \(k\)
也就是如果一堆点非要选一个相同的 \(f\) 那么选哪个数会最好。
3.特殊情形下的算法
一种贪心算法
例一：题目描述
给定正整数序列 \(y,w\)，求单调不减的实数序列 \(f\)，最小化 \(\sum_{i=1}^nw_i(f_i-y_i)^2\)
\(n\leq 200000\)
例一：解法
本题的偏序关系就是 \(f_i\leq f_j\) 的一条链，先给出两个比较重要的结论。
结论1：点集 \(U\) 的 \(L_2\) 均值为其加权平均数 \(\frac{\sum_{v_i\in U}w_iy_i}{\sum_{v_i\in U}w_i}\)
直接把平方展开之后就是二次函数的最值点。
如果有凸单调性但是更为复杂的函数最值，说不定可以让导数为 \(0\) 然后反解出那个位置的 \(x\)
结论2：\(\forall 1\leq i<n\)，如果有 \(y_i>y_{i+1}\)，那么最优解一定有 \(f_i=f_{i+1}\)
证明用到了微调法和反证法，如果在最优解中 \(f_i<f_{i+1}\)，那么我们选择极小的 \(\epsilon>0\)，得到的 \(f_i'=f_i+\epsilon w_{i+1},f_{i+1}'=f_{i+1}-\epsilon w_i\)，你可能觉得这样微调有点奇怪，但是这样能让微调的变化取决于 \(y_i\) 和 \(y_{i+1}\) 的关系，展开就知道了：
虽然我不是很懂极限，这个柿子和 \(0\) 的关系取决于一阶无穷小的大小，那么微调后答案变小，所以矛盾。
回到这道题，我们考虑怎么利用这两个结论，由于 \(f\) 取等的条件是 \(y_i>y_{i+1}\)，那么我们可以维护关于 \(y\) 的单调不减的单调栈，如果已知一个集合中的点取的 \(f\) 是相同的，那么可以把这个集合合并为一个点考虑，最优取值就是其 \(L_2\) 均值，具体的算法流程是这样的：
- 维护一个单调栈，栈内的每个元素为 \((S_i,y_i',w_i')\)，分别表示这个元素代表的集合，这个集合的 \(L_2\) 均值，这个集合的 \(w_i\) 的求和。
- 每次就加入 \((\{i\},y_i,w_i)\)，如果有 \(y'_{top}>y_i\)，那么直接把这两个集合合并，新集合的 \(L_2\) 均值也可以很好地算出来，那么把原来的元素删除，再把 \((\{i\}|S_{top},\frac{y_i+y'_{top}}{w_i+w'_{top}},w_i+w'_{top})\) 加入单调栈中即可，然后继续看这个元素能不能弹出栈顶。
- 最后 \(f_i\) 就是集合包含 \(i\) 元素的 \(L_2\) 均值（也就是 \(y'_{x}\)）
上述算法的时间复杂度 \(O(n\log n)\)（因为好像要维护集合），如果能算出 \(L_p\) 均值那么是可以向 \(L_p(1\leq p<\infty)\) 扩展的。
这个算法的局限性在于结论 \(2\) 并不是一直适用的，如果换了一个偏序关系就 \(gg\) 了。
维护折线算法
他说这个方法在 \(dp\) 优化里面挺常用的，但是我怎么没听说过啊喂
例二：题目描述
给定一个 \(n\) 个点 \(n-1\) 条边的有向弱连通图，每个点有点权 \(d_i\) 和修改耗时 \(w_i\)，对于每个 \(i(1\leq i\leq n)\)，每次修改可以花费 \(w_i\) 的时间把 \(d_i\) 加 \(1\) 或者减 \(1\)，求最少消耗多少时间使得每一条边 \((u,v)\) 的都满足 \(d_u\leq d_v\)
\(n\leq 3\times10^5,1\leq d_i\leq 1e9,1\leq w_i\leq 10^4\)
弱连通图就是把有向边换成无向边之后原图联通，换句话说就是保证了原图的树形结构。
例二：解法
首先由于偏序关系是非严格的，所以最后每个点的权值一定是某一个原来的 \(d\)
考虑用树形 \(dp\) 解决问题，设 \(g(u,i)\) 表示把点 \(u\) 变成 \(d_i\) 并且解决 \(u\) 子树的最小花费，不难发现取决于边的方向可以从 \(g(v,1...i)\) 或者 \(g(v,i...n)\) 转移而来，所以维护前缀最小值 \(L_i\) 和后缀最小值 \(R_i\) 就可以做到 \(O(n^2)\) 了。
更好的做法需要结论，维护折线优化 \(dp\) 首先需要找图像的性质，先考虑叶子节点，把 \(g,L,R\) 三个数组放在平面直角坐标上，发现斜率单调不减，因为图画出来是这样的（我知道你们都懒得画）：
对于非叶节点，\(g_u\) 是若干个斜率单调不减函数的叠加（对应位置函数值相加），所以 \(g_u\) 也是一个斜率单调不减的函数。\(L_u\) 和 \(R_u\) 就是 \(g_u\) 把一个后缀\(/\)前缀变成 \(0\)，所以也是斜率单调不减得函数，那么归纳地证明所有函数都斜率单调不减。
现在问题在于维护这个折线函数，对于叶节点的函数就是区间修改。那么怎么维护叠加操作呢？直接线段树合并就行了。这个线段树虽然带了懒标记，但是合并的时候直接把懒标记加起来是没问题的。
由于 \(L,R\) 只有其中之一会对祖先产生贡献，所以 \(L,R\) 的计算可以直接在 \(g\) 的线段树上二分并修改。时间复杂度 \(O(n\log n)\)
但是最后一步算 \(L,R\) 我好像不是特别懂诶，可能还要想一下。
UPD：好像并不是很难做，二分找到最低点之后就直接区间修改即可（打标记嘛）
