付公主的背包
一、题目
二、解法
直接做背包有点难，不妨试一试生成函数，设 \(G(x)\) 表示物品 \(i\) 的生成函数，那么：
\[G(x)=1+x^{v}+x^{2v}....=\frac{1}{1-x^{v}}
\]
直接生成函数卷积没有帮助，所以我们对闭形式搞点事情，不难发现答案是所有闭形式相乘再展开。也就是 \(\prod\frac{1}{1-x^v}\)，我们求出 \(\prod(1-x^v)\) 再使用多项式求逆即可，但是这时候暴力乘起不到任何优化效果。
下面的操作就难以置信了。化乘为加是常用技巧，可以用取对数实现，那么我们来看看对 \(1-x^V\) 取对数会产生什么东西：
\[\ln(1-x^v)
\]
因为 \(\ln(x')=\frac{1}{x}\)，所以可以尝试求导来去掉 \(\ln\)，设 \(F(x)=1-x^v\)：
\[\ln(F(x'))=\frac{F'(x)}{F(x)}=\frac{-vx^{v-1}}{1-x^v}
\]
这个东西其实是母函数的闭形式，我们将其展开：
\[=-\sum_{i\geq0}vx^{v-1+v_i}
\]
因为我们是求过导的，现在可以把它还原回去：
\[\ln(1-x^v)=-\sum_{i\geq0}\frac{vx^{v+v_i}}{v+vi}=-\sum_{i\geq1}\frac{vx^{vi}}{vi}
\]
因为这里我们只需要算到 \(m\)，所以把系数算出来的时间是调和级数求和（但是相同的物品需要一起算）
这里有点不懂，为什么只需要算到 m 呢？其实你可以看成是在模 x^{m+1} 意义下的运算，算出来的系数还是对的
然后多项式 \(\tt exp\) 之后多项式求逆，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)
暂时没有代码，马上补！
