[学习笔记] 拉格朗日反演
1、前言
我真的是吐了，最近学什么都学不懂。
这个东西还是 \(\tt oneindark\) 去翻论文搞懂的，我只能拾人牙慧了。
2、概述
对于原函数 \(y=f(x)\)，我们想求一个 反向映射 \(g(y)=x\)，也就是满足下列的关系式：
\[g(f(x))=x
\]
但是这个反演是有限制的，\(f,g\) 只能含有 \(x\) 的正整数次幂，在下面的推导中我会告诉你为什么。
3、求法
用 \([x^k]\) 表示 \(f(x)\) 中第 \(k\) 项的系数，先写结论：
\[[x^n]g(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{1}{f(x)^n}=\frac{1}{n}[x^{n-1}]\frac{x^n}{f(x)^n}
\]
上面的结论给出了 \(g\) 怎么求，设 \(g(x)=\sum_{i=1}^\infty b_ix^i\)，我们把它带进定义式 \(g(f(x))=x\) 里面：
\[\sum_{i=1}^\infty b_if(x)^i=x
\]
两边以自变量 \(x\) 求导：
\[\sum_{i=1}^\infty ib_if(x)^{i-1}f'(x)=1
\]
仔细观察结论式，现在我们已经得到 \(1\) 了，所以两边除以 \(f(x)^n\) 可以得到类似的结构：
\[\sum_{i=1}^\infty ib_if(x)^{i-n-1}f'(x)=\frac{1}{f(x)^n}
\]
继续观察结论式，我们把 \(n\) 这一样单独拆出来才可能得到系数：
\[nb_n\frac{f'(x)}{f(x)}+\sum_{i=1,i\not=n}^\infty ib_if(x)^{i-n-1}f'(x)=\frac{1}{f(x)^n}
\]
下一步就需要逆向思维了，根据链式法则我们知道 \((f(x)^{i-n})'=(i-n)f(x)^{i-n-1}f'(x)\)，那么把这个东西再换回去：
\[nb_n\frac{f'(x)}{f(x)}+\sum_{i=1,i\not=n}^\infty\frac{ib_i}{i-n}(f(x)^{i-n})'=\frac{1}{f(x)^n}
\]
因为 \(f(x)^{i-n}\) 是形式幂级数，而形式幂级数求导永远不会得到 \([x^{-1}]\) 这一项，如果我们单看这一项就可以把这个形式幂级数扔掉了，那么式子就简单很多，我们和结论式愈加接近了：
\[[x^{-1}]nb_n\frac{f'(x)}{f(x)}=[x^{-1}]\frac{1}{f(x)^n}
\]
剩下的工作就是暴力把 \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) 展开：
\[\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{\sum_{i=1}^\infty ia_ix^{i-1}}{\sum_{i=1}^\infty a_ix^i}
\]
\[=\frac{\sum_{i=1}^\infty ia_ix^{i-1}}{a_1x}\times\frac{1}{1+\sum_{i=2}^\infty\frac{a_i}{a_1}x^{i-1}}
\]
\[=(x^{-1}+A)\frac{1}{1+B}
\]
\[=(x^{-1}+A)(1+\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^iB^i)
\]
其中 \(A,B\) 都代表了两个无关紧要的形式幂级数，他们都不会给 \(x^{-1}\) 造成影响，那么：
\[[x^{-1}]\frac{f'(x)}{f(x)}=1
\]
把他带到我们推出的式子中，得到：
\[b_n=\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{1}{f(x)^n}
\]
\[[x^n]g(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{1}{f(x)^n}=\frac{1}{n}[x^{n-1}]\frac{x^n}{f(x)^n}
\]
4、拓展
这个只能背结论了，我也没办法，若 \(h(0)=0\)：
\[[x^n]h(g(x))=\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{h'(x)}{f(x)^n}
\]
5、例题
例题1：大朋友和多叉树，这是很基本的应用了
