[NOI2016] 循环之美
一、题目
二、解法
首先考虑 \(\frac{x}{y}\) 怎样才是一个纯循环小数，因为要求值不同，所以可以先保证 \((x,y)=1\) ，最开始的余数是 \(x\) ，每次取余之后会乘 \(k\) ，进入到下一位的除法，如果我们的余数出现了循环节那么就说明是纯循环小数：
\[xk^l=x\mod y
\]
由于 \((x,y)=1\) ，推出 \(k^l=1\mod y\) ，那么当且仅当 \((k,y)=1\) 是纯循环小数，可以开始推式子了：
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1]
\]
由于后面的柿子变量要少一些（\(k\) 是固定的），所以可以反演后面的部分：
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=1]\sum_{d|(j,k)}\mu(d)
\]
然后套路地把 \(d\) 提到最前面：
\[\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m/d}(i,jd)=1
\]
\[\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m/d}[(i,j)=1][(i,d)=1]
\]
做到现在感觉还是很难，但这种题一般是有套路的，也就是我们把它转化成一个递归的问题，然后递归的状态数不多，而且边界是可以用杜教筛处理的，令 \(f(n,m,k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1]\) ，则：
\[\sum_{d|k}\mu(d)f(\frac{m}{d},n,d)
\]
然后就可以递归了，\(k=1\) 是边界，反演一下可以知道答案是：\(\sum_{d=1}^n\mu(d)\frac{n}{d}\frac{m}{d}\)，可以用杜教筛加数论分块。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 1000000;
const int M = N+5;
#define int long long
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,k,cnt,cnm,tot,p[M],mu[M],vis[M],d[M],sm[M];map<int,int> sum;
struct jzm
{
int x,y,z;
jzm(int X=0,int Y=0,int Z=0) : x(X) , y(Y) , z(Z) {}
bool operator < (const jzm &r) const
{
if(x!=r.x) return x<r.x;
if(y!=r.y) return y<r.y;
return z<r.z;
}
};map<jzm,int> ppl;
void init(int n)
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
mu[i]=-1;
p[++cnt]=i;
}
for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++)
{
vis[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) break;
mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) sm[i]=mu[i]+sm[i-1];
}
int get(int n)
{
if(n<=N) return sm[n];
if(sum[n]) return sum[n];
int ans=1;
for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)//这个地方第二遍错了
{
r=n/(n/l);
ans-=(r-l+1)*get(n/l);
}
return sum[n]=ans;
}
int zy(int n,int m,int k)
{
if(!n || !m) return 0;
if(ppl[jzm(n,m,k)]) return ppl[jzm(n,m,k)];
int res=0;
if(k==1)
{
if(n>m) swap(n,m);
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
res+=(get(r)-get(l-1))*(n/l)*(m/l);
}
return ppl[jzm(n,m,k)]=ppl[jzm(m,n,k)]=res;
}
for(int i=1;i<=tot && d[i]<=k;i++)
if(k%d[i]==0)
res+=mu[d[i]]*zy(m/d[i],n,d[i]);
return ppl[jzm(n,m,k)]=res;
}
signed main()
{
init(N);
n=read();m=read();k=read();
for(int i=1;i<=k;i++)
if(k%i==0 && mu[i]) d[++tot]=i;
printf("%lld\n",zy(n,m,k));
}
