[正睿集训2021] Grid with mirrors

这么好的题到底哪里来的啊，我在网上找怎么都找不到。

一、题目

题目描述

给你 \(n\times n\) 的矩阵，其中有 \(m\) 个障碍物，每次可以选择从当前方向走或者是转向 \(90\) 度，定义 \(f(x,y)\) 为从 \((1,1)\) 到 \((x,y)\) 的最小转向次数，\(\tt zxy\) 想要知道对于不是障碍物的 \((x,y)\)，\(\sum f(x,y)\) 是多少呢？

数据范围

\(1\leq n\leq 10^5,0\leq m\leq 10^5\)

二、解法

暴力跑是 \(O(n^2)\) 的，你会发现根本就没有办法优化。

感觉很多这种迷宫题最后都要 转化到图论方向去 ，我们尝试构造本题的图论模型。我们不可能暴力建出 \(O(n^2)\) 个点，仔细想一想 转向 这个东西怎么体现在我们图论的 点 上。也就是我们取出每一个极长的行和列（这是依照障碍物划分的），他的内部是可以随便走的所以我们把很多个点压成了一个点。边就是行和列之间的连边，代表了一次转向，而且边权一定是 \(1\) 。

这个图的性质有两点：边权为 \(1\) \(/\) 它是一个二分图。我们先来解决计算答案的问题吧，设 \(dis[i]\) 表示图上起点到 \(i\) 的距离，那么 \(f(x,y)=\min(dis[idx],dis[idy])\)，\(idx\) 和 \(idy\) 分别表示这个点所在的极长行或者极长列。

这个 \(\min\) 有点恶心啊，但是结合二分图的性质，发现 \(dis[idx]\) 和 \(dis[idy]\) 相差一定为 \(1\)（因为起点只有一个），那么 \(f(x,y)=(dis[idx]+dis[idy]-1)/2\)，转化成了一个求和的柿子，现在我们只需要算出 \(dis\) 数组。

边数是 \(O(n^2)\) 的，这道题的连边方式可以用类似 线段树优化建图 的方式来做。这时候奇技淫巧来了（就讲行连列吧）：我们先做一遍扫描线，维护出一棵表示现有的极长列的线段树，把每一个极长行向线段树上的 \([l,r]\) 连边。但由于以前的连边结果也是要保存的 ，所以我们把线段树换成主席树进行上面的过程。

对于这种方法，我想称之为 主席树优化建图。

//没有提交的地方，所以我没写代码。
//但是思路还是很有启发性的哦 ^_^