[学习笔记] 后缀数组
上一次把后缀自动机的博客补了之后，现在我又来把后缀数组这个坑给填了吧。
但有一说一这东西还是比后缀自动机好理解的，我完全看懂也没花多久。我还是尽量把关键点都讲清楚，在此基础上尽量缩小篇幅，首先感谢一下这位大佬的博客，我是看着他的博客学的。
后缀数组是什么？
后缀数组，顾名思义，我们肯定要求一个数组来完成许多复杂的功能。后缀数组通常指 \(sa[i]\) 即后缀 \(i\) 的字典序排序，还要 \(height[i]\) 等等。不要着急，下文我们会详细讲。
对比于后缀自动机，后缀数组的应用更为复杂，通常需要一些结论和高超的技巧。所以弱智的我通常选择使用后缀自动机，他们能解决的问题很大程度上是重合的。但也有不少毒瘤题只能用后缀数组来做，学习他是很有必要的。
如何求 sa？
先给出一些基础的定义：\(rk[i]\) 表示把所有的后缀都放在一起字典序排序，后缀 \(i\) 的排名。\(sa[i]\) 表示排名为 \(i\) 的后缀是什么（也就是他在原数组中的起始下标）
暴力求他们是 \(O(n\log n)\) 的，优化用到了 倍增 的思想。
所以倍增什么呢？我们选择倍增 当前比较的长度 \(k\)，具体来说，我们只找到每个后缀的前 \(k\) 位得到的排序结果。然后尝试用这个结果快速扩展到 \(2k\)，如果这个过程能做到 \(O(n)\) ，那么时间复杂度就能做到 \(O(n\log n)\)
我们设 \(x[i]\) 为后缀 \(i\) 的第一关键字，也就是只看前 \(k\) 位是排在第几名的（如果前 \(k\) 为相同的话排名是一样的），这个数组是我们的已知条件 ，一定要利用好。
设 \(y[i]\) 为第二关键字，但是因为好写的原因所以他表示的是 第二关键字排名为 \(i\) 的后缀是什么 ，求出他对于求出在 \(2k\) 意义下的 \(x'\) 数组具有重要意义。
问题变成了怎么求 \(y\) 数组，首先对于 \([n-k+1,n]\) 这些后缀是没有第二关键字的，所以可以直接放在最前面（空串的字典序最小嘛）。然后倍增的思想一定会用到 \(k\) 意义下的结果的，最经典的就是 \(fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]\)。类似地，我们可以考虑用 \(i+k\) 的第一关键字来搞 \(i\) 的第二关键字。
我们按 \(k\) 意义下的排名枚举后缀（也就是当前的 \(sa\) 数组），如果 \(sa[i]>k\) ，那么可以把后缀 \(sa[i]-k\) 加入 \(y\) 数组中（所以我们要按字典序来嘛）
得到 \(y\) 以后我们先用 \(x\) 建一个桶，然后 \(y\) 在后面的后缀就先拿他的排名（保证 \(x\) 同类按 \(y\) 排序），这样我们就得到了新的 \(sa\) ，然后我们在处理新的 \(x\) 就可以了，这一部分不是关键，可以直接看代码。
但是我懒得写注释了，我就直接用了大佬带注释的代码，侵删（有些奇怪的宏定义不用管）：
inv get_SA()
{
for (rint i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]=s[i]];
//c数组是桶
//x[i]是第i个元素的第一关键字
for (rint i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];
//做c的前缀和，我们就可以得出每个关键字最多是在第几名
for (rint i=n;i>=1;--i) sa[c[x[i]]--]=i; //排名为...的后缀是i
for (rint k=1;k<=n;k<<=1)
{
rint num=0;
for (rint i=n-k+1;i<=n;++i) y[++num]=i;
//y[i]表示第二关键字排名为i的数，第一关键字的位置
//第n-k+1到第n位是没有第二关键字的 所以排名在最前面
for (rint i=1;i<=n;++i) if (sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;
//排名为i的数 在数组中是否在第k位以后
//如果满足(sa[i]>k) 那么它可以作为别人的第二关键字，就把它的第一关键字的位置添加进y就行了
//所以i枚举的是第二关键字的排名，第二关键字靠前的先入队
//所以这里应该是看排名为i的数的贡献
for (rint i=1;i<=m;++i) c[i]=0;
//初始化c桶
for (rint i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]];
//因为上一次循环已经算出了这次的第一关键字 所以直接加就行了
for (rint i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];//第一关键字排名为1~i的数有多少个
for (rint i=n;i>=1;--i) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
//因为y的顺序是按照第二关键字的顺序来排的
//第二关键字靠后的，在同一个第一关键字桶中排名越靠后
//基数排序
swap(x,y);
//这里不用想太多，因为要生成新的x时要用到旧的，就把旧的复制下来，没别的意思
x[sa[1]]=1;num=1;
for (rint i=2;i<=n;++i)
x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]) ? num : ++num;
//因为sa[i]已经排好序了，所以可以按排名枚举，生成下一次的第一关键字
if (num==n) break;
m=num;
//这里就不用那个122了，因为都有新的编号了
}
for (rint i=1;i<=n;++i) putout(sa[i]),putchar(' ');
}
如何求 height？
如果后缀数组只能排序的话那真是太鸡肋了，他的更广阔的应用需要 \(height[i]\) 也就是 \(sa[i-1]\) 和 \(sa[i]\) 的最长公共前缀，我们来证明若干结论（有关求法和应用），约定 \(lcp(i,j)\) 表示后缀 \(sa[i],sa[j]\) 的最长公共前缀。
结论1：\(lcp(i,k)=\min(lcp(i,j),lcp(j,k))\;\;1\leq i\leq j\leq k\leq n\)
设 \(p=\min(lcp(i,j),lcp(j,k))\)，那么 \(lcp(i,j)\geq p,lcp(j,k)\geq p\)，这个不等式其实是有物理意义的，也就是 \(sa[i],sa[j]\) 的前 \(p\) 个字符相等，\(sa[j],sa[k]\) 的前 \(p\) 个字符相等，所以 \(lcp(i,k)\) 至少是 \(p\)
然后再用反证法，假设 \(lcp(i,k)\) 是 \(p+1\)，那么 \(s_i[p+1]=s_k[p+1]\)，而我们知道 \(s_i[p+1]\not=s_j[p+1]\) 或者 \(s_j[p+1]\not=s_k[p+1]\)，所以可以推出来是不成立的，那么 \(lcp(i,k)=p\)
这个结论有一些引申出来的结论，譬如：\(lcp(i,j)=\min(lcp(k,k+1))\;\;i\leq k<j\) ，其实这个就相当于一个 \(dp\)，不难证明。那么我们求出来了 \(height[i]\) 之后就可以用 \(st\) 表 \(O(1)\) 求出两个后缀 \(i,j\) 的最长公共前缀。
结论2：\(h[i]\geq h[i-1]-1\)
这个结论是用来求 \(height\) 数组的，\(h[i]\) 的定义是原来的后缀 \(i\) 与后缀 \(sa[rk[i]-1]\) 的最长公共前缀，它的定义是基于原串的，根据定义可以知道：\(height[i]=h[rk[i]]\) ，那么问题就转化成了求 \(h\) 数组。
设排名在后缀 \(i-1\) 的后缀是 \(k\) ，那么他们的最长公共前缀是 \(h[i-1]\)，我们考虑后缀 \(k+1\) 和 \(i\) 的关系，但请注意：他们两个的关系并不能直接计算 \(h[i]\) ，但是考虑他们的关系会有奇效。
后缀 \(k+1\) 可以看成后缀 \(k\) 去掉首字符，后缀 \(i\) 可以看成后缀 \(i-1\) 去掉首字符，所以他们的最长公共前缀是 \(h[i-1]-1\)（当前 \(h[i-1]=0\) 的情况显然成立所以不予讨论）
但 \(k+1\) 并不是排名在 \(i\) 前面的后缀，设真正排名在 \(i\) 前面的后缀是 \(j\)，那么 \(i,j\) 的最长公共前缀一定大于等于 \(i,k+1\) 的最长公共前缀，因为如果他不成立的话排名在 \(i\) 前面的后缀就是 \(k+1\) 了（还是反证法）
知道了这两个结论求 \(height\) 不是有手就行？因为 \(h[i]\) 每次最多减少 \(1\)，所以暴力跑的话复杂度是 \(O(n)\) 的，这种思想在字符串问题中很常见了，比如：\(\tt kmp,exkmp,manacher\) 都是这种先继承再暴力的思想。
inv get_height()
{
rint k=0;
for (rint i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;
for (rint i=1;i<=n;++i)
{
if (rk[i]==1) continue;//第一名height为0
if (k) --k;//h[i]>=h[i-1]+1;
rint j=sa[rk[i]-1];
while (j+k<=n && i+k<=n && s[i+k]==s[j+k]) ++k;
height[rk[i]]=k;//h[i]=height[rk[i]];
}
putchar(10);for (rint i=1;i<=n;++i) putout(height[i]),putchar(' ');
}
后缀数组应用
做到了的话会慢慢补充的
