03. 离散傅里叶变换
离散傅里叶级数
对一个周期为N的序列，其离散傅里叶级数有：
\[\tilde{x}(n) = \frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \tag{1.1}
\]
两边同时乘以\(e^{-j \frac{2\pi}{N}rn}\)，并累加有：
\[\sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j \frac{2\pi}{N}rn} = \sum\limits_{k=0}^{N-1}\sum\limits_{n=0}^{N-1} \frac{1}{N}\tilde{X}(k)e^{j \frac{2\pi}{N}n(k-r)} \tag{1.2}
\]
有：
\[e^{j \frac{2\pi}{N}n(k-r)} = \left \{
\begin{matrix} N &k-r=m2\pi \\ 0
\end{matrix}
\right. \tag{1.3}
\]
所以有：
\[\sum\limits_{k=0}^{N}\tilde{X}[r] = \sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j \frac{2\pi}{N}rn} \tag{1.4}
\]
即：
\[\tilde{X}[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j \frac{2\pi}{N}kn} \tag{1.5}
\]
记旋转因子\(W_{N}^{kn} = e^{-j \frac{2\pi}{N}kn}\)
所以有周期函数的离散傅里叶级数：
\[\tilde{x}(n) = \frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{X}[k]W_{N}^{kn} \tag{1.6}
\]
\[\tilde{X}[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)W_{N}^{-kn} \tag{1.7}
\]
周期函数的离散时间傅里叶变换：
有结论：
\[\tilde{X}(e^{j\omega}) = DTFT[\tilde{x}(n)] = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{2\pi}{N}\tilde{X}[k]\delta\left(\omega - \frac{2\pi}{N}k\right) \tag{1.8}
\]
证明：只需要将两边同时进行IDTFT即可得到相等。
假设去上述周期函数的一个主值函数\(x(n)\)，有：
\[\tilde{x}(n) = x(n)*\tilde{p}(n) \tag{1.9}
\]
其中\(\tilde{p}(n) = \sum\limits_{r=-\infty}^{\infty}\delta(n-rN)\)
并且：
\[\tilde{P}[k] = \sum\limits_{k=0}^{N-1}\sum\limits_{r=-\infty }^{\infty}\delta(n-rN)W_{N}^{kn} = 1 \tag{1.10}
\]
根据上面(1.8)结论有：
\[\tilde{P}(e^{j\omega}) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{2\pi}{N}\delta(\omega- \frac{2\pi}{N}k)
\tag{1.11}
\]
由时域卷积定理有：
\[\tilde{X}(e^{j\omega}) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{2\pi}{N}X(e^{j \frac{2\pi}{N}k})\delta(\omega - \frac{2\pi}{N}k)
\tag{1.12}
\]
对比上面两个式子(1.8),(1.12)有：
\[\tilde{X}[k] = X\left(e^{j \frac{2\pi}{N}k}\right)= X(e^{j\omega})|_{\omega= \frac{2\pi}{N}k} = X(z)|_{z= e^{j \frac{2\pi}{N}k}}
\tag{1.13}
\]
从上面式子得出离散傅里叶级数就是对离散时间傅里叶变换的采样。
离散傅里叶变换
对一个有限长序列\(x(n)\)，我们可以将其进行时域周期延拓，并且其在频域有对应的周期离散傅里叶级数，因此定义离散傅里叶变换如下：
\[X[k] = DFT[x(n)] = \sum\limits_{k=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{kn}
\tag{1.14}
\]
性质
和其他傅里叶变换性质类似，只不过注意旋转因子中已经包含有一个负号。
意义
我们已经知道离散时间傅里叶变换的频域是连续的，可能（我目前也不知道有啥好处，好像后面FFT有用，汗。。）会带来些影响。所以我们引入离散傅里叶变换，通过离散傅里叶变换，我们将原本的数字序列变成同样离散的频域信息，根据这些信息，我们仍能复原出我们的离散数字序列.
