复变函数

一、 复变函数的基本知识

由于在实数域中无法表示负数开根号问题，故将数系进行扩充，定义有\(i^{2}=-1\)

1. 复数的表示法

\[代数形式：z = x+iy \qquad 其中i为虚部单位 \]

\[指数形式： z = re^{i\theta} \qquad 其中r为其幅值，\theta为幅角 \]

\[三角形式： 根据欧拉公式，有：z = r(\cos\theta+i\sin\theta) \]

其四则运算略

2. 幅角求解

对于\(z = x + iy\)，其幅角主值（即\((-\pi, \pi]\)部分）有：

\[arg(z) = \left\{\begin{matrix} \arctan \frac{y}{x} \qquad &x>0 \\ \arctan \frac{y}{x}+\pi &x<0,y>0 \\ \arctan \frac{y}{x}- \pi &x<0,y<0 \end{matrix}\right. \]

上述公式其实很容易证明，可以现场推导，不需要死记。
画个图示意

对于幅角主值，就是从\(-\pi\)转到\(\pi\)的范围，并且逆时针为正，显然，对于 x>0 的时候，这个角度就等于y/x的反正切，对于 x < 0 ，以2举例，其反正切等于1， 如果我们要由1 得到 2， 那么 1 就应该旋转某个角度， 如果是逆时针，则角度就会超过 \(\pi\)，所以只能是顺指针，即减去\(\pi\)

3. 复变函数

定义在复数域上，将一个复数映射成另一个复数。下面是一些基础知识，建议去找专门的书籍查看详细定义。

1. 极限

和实变函数一致，简单点说就是从任意一个方向趋向于某个数，函数都等于同一个值；复杂点说就是 \(\epsilon - \delta\) 定义

2. 连续

如果函数在任意一点极限存在且等于函数值，怎称其连续

3. 导数

和实变函数一样，在某点的导数等于在该点处产生无穷小的变化时函数变化率的极限，如果该极限存在，则函数在该点可导，并且对于一般函数，其求导公式与实变函数一致

4. 解析

函数在某点的一个邻域内处处可导，则称函数在该点解析
如果在一个区域内处处解析，则称在该区域解析，该函数则称之为在该区域内的解析函数或者全纯函数

5. C-R条件

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{\partial u}{x} = \frac{\partial v}{y} \\ \frac{\partial u}{y} = - \frac{v}{x}\end{matrix} \right. \]

4. 点、区域可导、解析的关系

如图

5. 调和函数

定义拉普拉斯算子 $$\Delta = \frac{\partial^{2}}{x{2}} + \frac{\partial^{2}}{y{2}} $$
如果一个函数f，满足\(f\cdot \Delta=0\) ，则称其为调和函数
如果一个函数解析，则其实部和虚部函数都为调和函数，反之不一定，但是加上C-R条件则成立

二、复变函数的积分

1. 定义

略，简单点说就是沿某条路径上的第二型曲线积分

\[\int_{c} f(z)dz \]

2. 计算方法

和二元第二型曲线积分类似，在复平面上，如果有参数方程

\[\left \{ \begin{matrix} x = f(t) \\ y = g(t) \end{matrix} \right. \]

则 \(dz = df + i dg\) ， 带入原积分，转换成定积分
常用公式

\[\oint_{c} \frac{1}{(z-z_{0})^{m}}dz = \left\{ \begin{matrix} 2\pi i &m=1 \\ 0 &m>1\end{matrix}\right. \]

其中 \(z_{0}\)是该闭合曲线中唯一的不解析点

3. 柯西古萨定理

在一个区域内（单联通和复联通都成立，方向正确即可），在其中处处解析，则在该区域中的闭合曲线上的积分为0

4. 柯西积分公式

有：

\[2\pi if(z) = \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_{0}}dz \]

高阶导数公式

\[2\pi if^{(n)}(z) = n!\oint_{c} \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz \]

三、复数项级数

1. 复数项级数的基本概念

定义 \(c_{n} = a_{n}+ib_{n}\)为复数项级数，其中的两个为实数项级数

1. 收敛性判断

\(c_{n}\)收敛的充要条件是\(a_{n},b_{n}\)收敛，则转化成了判断实数项级数
大概回顾一下实数项级数的判断方法（怀念我的高数老师，hh）
首先有绝对收敛必收敛的概念，并且有必要条件\(\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0\)

1. 比较法和极限比较法 --> 对于两个正项数列，较大的收敛，较小的也收敛，较小的发散，较大的一定发散
2. 根值法 --> \(lim_{n\to\infty} a_{n}^{\frac{1}{n}} = \lambda\) ，当\(\lambda <1\) 收敛
3. 比值法 --> 类似于根值法
   上面三种是正项级数的常用判别法，一般都是利用绝对收敛再加上上述方法，并且常用比较对象是p级数和等比级数

对于交错级数 ：绝对值单调递减并且极限为0则收敛

同理、复数项级数也满足绝对收敛

2. 幂级数

\[z_{n} = c_{n}z^{kn} \]

1. 收敛半径

即满足

\[\lim_{n\to\infty} |\frac{z_{n+1}}{z_{n}}|<1 \]

2. 阿贝尔定理

如果幂级数在\(z_0\)处收敛，在\(|z|<|z_{0}|\)内绝对收敛，由此可通过收敛半径得到收敛域

3. 泰勒展开

和实函数一致，并且常用的展开也一致

4. 洛朗展开

泰勒展开的推广，一般还是改变形式转化成常用泰勒展开的范围去展开

四、留数及其应用

定义留数等于洛朗展开 负一次幂的系数
后面累了，不想搞了QAQ