静电平衡
处在电场中的导体，其内部的电荷会受到外部电场的作用，从而使得电荷分布发生变化。用高斯公式和反证法等可得出，处于该状态下的导体电荷之分布在内外表面，导体内部场强为0，整个导体是一个等势体，此状态称之为静电平衡
导体表面电荷分布
如图
在导体表面做一个小的圆柱，通过高斯定理有：
\[ES = \frac{q}{\epsilon_{0}} \Rightarrow E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}
\]
探究电荷面密度的分布规律
假设有两个均匀带电导体球，半径分别为\(R_{1},R_{2}\)，电荷分别为\(q_{1},q_{2}\)，并且两个导体球足够圆。现用一足够长的导线将两球相连，求连接后的电荷分布情况
解：
有题意有：
\[q_{1}^{'} +q_{2}^{'} = q_{1}+q_{2} \qquad \qquad (1)
\]
再由连接后电势相等有：
\[\frac{q_{1}^{'}}{4\pi\epsilon_{0}R_{1}} = \frac{q_{2}^{'}}{4\pi\epsilon_{0}R_{2}}
\]
由（1）（2）两式有：
\[\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}
\]
同理，在一个导体上曲率半径越小的地方电荷密度越大，场强越大， 在电场中越容易电离，这也是尖端放电的原因
同心球和球壳问题
该类问题只需注意几个方面：
- 电荷守恒
- 导体内部场强为0，导体为等势体，电荷分布在内外表面
- 接地后导体电势为0
根据上面的条件，结合电势和电场分布公式及高斯定理分析即可求解
导体接地问题
导体接地\(\Rightarrow\) 电势为0
一般情况下：
- 对于某个孤立的导体，无附加电场时，或者内部的净电荷为0，如果该导体接地，则该导体的电荷分布为0。 假设该导体的电荷不为0，则一定分布在外表面，并且外表面一定有垂直于表面的电场，由电势的定义知该导体的电势一定不为0，与大条件矛盾。
- 如果在电场中，则该导体的电荷分布一般不为0 。 如果为0，则电势一定不为0 。
电容器
1.平行带电极板电荷分布规律
如图
两个大小一致且足够大的平行带点极板，电荷密度如图。做出一个圆柱形高斯面有：
\[\sigma_{2} = -\sigma_{3}
\]
以及：
\[\sigma_{1}S +\sigma_{2}S = q_{1} \qquad \sigma_{3}S+\sigma_{4}S=q_{2}
\]
在某极板中任取一点，可知该点场强为0，则有：
\[\frac{\sigma_{1}}{2\epsilon_{0}} - \frac{\sigma_{2}}{2\epsilon_{0}}
-\frac{\sigma_{3}}{2\epsilon_{0}} - \frac{\sigma_{4}}{2\epsilon_{0}} = 0
\]
联立得到：
\[\sigma_{2}= -\sigma_{3} = \frac{q_{1}-q_{2}}{2S}
\qquad \sigma_{1}=\sigma_{4}= \frac{q_{1}+q_{2}}{2S}
\]
- 当两板带等量同种电荷是，此时两板内侧电荷为0，电荷全部分布在两板外侧且电量相同。
- 当两板带等量异种电荷时，此时两板外侧电量为0，电荷全部分布在两板内侧且电量相同。
电容的定义
\[C = \frac{Q}{\Delta u}
\]
平行板电容器
假设两带等量异种电荷,密度为\(\sigma\)，间距为d，面积为S，则有：
\[Q = \sigma S \qquad \Delta u = Ed = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}d
\]
所以：
\[C = \frac{S\epsilon_{0}}{d}
\]
球形电容器
如图
有：
\[\Delta u = \int_{R_1}^{R_{2}} \frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}dr = \frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}( \frac{1}{R_{1}}- \frac{1}{R_{2}})
\]
此时，有：
\[C = \frac{4\pi\epsilon_{0}R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}
\]
当只有一个均匀带点球体时，即\(R_{2}\to\infty\) ,有：
\[C = 4\pi\epsilon_{0}R_{1}
\]
圆柱形电容器
如图
做一个圆柱形高斯面
有 :
\[E2\pi rl = \frac{lq}{h\epsilon_{0}} \Rightarrow E = \frac{q}{2\pi rh\epsilon_{0}}
\]
所以有：
\[\Delta u = \frac{q}{2\pi h\epsilon_{0}}\ln \frac{R2}{R1}
\]
即：
\[C = \frac{2\pi h \epsilon_{0}}{\ln R_{2}/R_{1}}
\]
如果满足条件：\(R_{1}>> R_{2}-R_{1}\)，则有：\(\ln \frac{R_{2}}{R_{1}} = ln \left(1+ \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}} \right)\approx \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}}\)
则有：
\[C = \frac{2\pi h \epsilon_{0}R_{1}}{R_{2}-R_{1}} = \frac{S}{\Delta R}\epsilon_{0}
\]
等效为一个平行板电容器
平行板电容器的级联和并联
- 级联
\[\frac{1}{C} = \sum\limits_{i}^{n} \frac{1}{C_{i}}
\]
- 并联
\[C = \sum\limits_{i}^{n} C_{i}
\]
电介质的极化
根据实验结果表明：当一个平行带点极板之间的介质变成\(\epsilon_r\)的电介质时，两极板的电压会减小，具体可表示为：
\[\Delta u = \frac{\Delta u}{\epsilon_{r}}
\]
因此，当中间的介质为\(\epsilon_{r}\)的时候，上面推导得出的电容公式都应该乘上\(\epsilon_{r}\)，后面的公式也一样
深入研究分析
通过做出高斯面分析可知，电势差减小的原因是电场减小，更直接的说时极板两侧的电荷减少。
- 对于无极分子，会发生位移极化，即原本没有没有极性的分子在外部电场的作用下发生位移，导致正负电荷的中心不再重合，分子形成成为一个简易的电偶极子，阻碍场强的作用。
- 对于有极分子，会发生取向极化，即原本算乱排布的分子会发生一定的角度偏移，从而来阻碍电场的作用。
靠近极板两侧的电荷称之为束缚电荷，也是导致极板两侧电荷减少的原因。
静电场的能量
平行板电容器的能量
对于一个平行板电容器，有：
\[W = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C}dq = \frac{Q^{2}}{2C} = \frac{1}{2}CU^{2}
\]
又有：
\[U = Ed \quad C = \frac{\epsilon_{0}S}{d}
\]
带入有：
\[W = \frac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2}Sd = \frac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2}V
\]
我们令\(w_{e}\)为单位能量密度，则有：
\[w_{e} = \frac{W}{V} = \frac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2}
\]
这个公式可以推广计算静电场的能量
