静电场中的导体

静电平衡

处在电场中的导体，其内部的电荷会受到外部电场的作用，从而使得电荷分布发生变化。用高斯公式和反证法等可得出，处于该状态下的导体电荷之分布在内外表面，导体内部场强为0，整个导体是一个等势体，此状态称之为静电平衡

导体表面电荷分布

如图

在导体表面做一个小的圆柱，通过高斯定理有：

$$ES=\frac{q}{{ϵ}_0}\Rightarrow E=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$$

探究电荷面密度的分布规律

假设有两个均匀带电导体球，半径分别为$R_1,R_2$，电荷分别为$q_1,q_2$，并且两个导体球足够圆。现用一足够长的导线将两球相连，求连接后的电荷分布情况
解：
有题意有：

$$q_1^{{}^{\prime }}+q_2^{{}^{\prime }}=q_1+q_2(1)$$

再由连接后电势相等有：

$$\frac{q_1^{{}^{\prime }}}{4\pi {ϵ}_0{R}_1}=\frac{q_2^{{}^{\prime }}}{4\pi {ϵ}_0{R}_2}$$

由（1）（2）两式有：

$$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}=\frac{R_2}{R_1}$$

同理，在一个导体上曲率半径越小的地方电荷密度越大，场强越大， 在电场中越容易电离，这也是尖端放电的原因

同心球和球壳问题

该类问题只需注意几个方面：

1. 电荷守恒
2. 导体内部场强为0，导体为等势体，电荷分布在内外表面
3. 接地后导体电势为0
   根据上面的条件，结合电势和电场分布公式及高斯定理分析即可求解

导体接地问题

导体接地$\Rightarrow$ 电势为0
一般情况下：

1. 对于某个孤立的导体，无附加电场时，或者内部的净电荷为0，如果该导体接地，则该导体的电荷分布为0。 假设该导体的电荷不为0，则一定分布在外表面，并且外表面一定有垂直于表面的电场，由电势的定义知该导体的电势一定不为0，与大条件矛盾。
2. 如果在电场中，则该导体的电荷分布一般不为0 。 如果为0，则电势一定不为0 。

电容器

1.平行带电极板电荷分布规律

如图

两个大小一致且足够大的平行带点极板，电荷密度如图。做出一个圆柱形高斯面有：

$${\sigma }_2=-{\sigma }_3$$

以及：

$${\sigma }_{1}S+{\sigma }_{2}S=q_1{\sigma }_{3}S+{\sigma }_{4}S=q_2$$

在某极板中任取一点，可知该点场强为0，则有：

$$\frac{{\sigma }_1}{2{ϵ}_0}-\frac{{\sigma }_2}{2{ϵ}_0}-\frac{{\sigma }_3}{2{ϵ}_0}-\frac{{\sigma }_4}{2{ϵ}_0}=0$$

联立得到：

$${\sigma }_2=-{\sigma }_3=\frac{q_1-q_2}{2S}{\sigma }_1={\sigma }_4=\frac{q_1+q_2}{2S}$$

1. 当两板带等量同种电荷是，此时两板内侧电荷为0，电荷全部分布在两板外侧且电量相同。
2. 当两板带等量异种电荷时，此时两板外侧电量为0，电荷全部分布在两板内侧且电量相同。

电容的定义

$$C=\frac{Q}{\mathrm{\Delta }u}$$

平行板电容器

假设两带等量异种电荷,密度为$\sigma$，间距为d，面积为S，则有：

$$Q=\sigma S\mathrm{\Delta }u=Ed=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}d$$

所以：

$$C=\frac{S{ϵ}_0}{d}$$

球形电容器

如图

有：

$$\mathrm{\Delta }u={\int }_{R_1}^{R_2}\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}dr=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$$

此时，有：

$$C=\frac{4\pi {ϵ}_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}$$

当只有一个均匀带点球体时，即$R_2\to \mathrm{\infty }$ ,有：

$$C=4\pi {ϵ}_0{R}_1$$

圆柱形电容器

如图

做一个圆柱形高斯面
有 :

$$E2\pi rl=\frac{lq}{h{ϵ}_0}\Rightarrow E=\frac{q}{2\pi rh{ϵ}_0}$$

所以有：

$$\mathrm{\Delta }u=\frac{q}{2\pi h{ϵ}_0}\ln \frac{R2}{R1}$$

即：

$$C=\frac{2\pi h{ϵ}_0}{\ln R_2/R_1}$$

如果满足条件：$R_1>>R_2-R_1$，则有：$\ln \frac{R_2}{R_1}=ln(1+\frac{R_2-R_1}{R_1})\approx \frac{R_2-R_1}{R_1}$
则有：

$$C=\frac{2\pi h{ϵ}_0{R}_1}{R_2-R_1}=\frac{S}{\mathrm{\Delta }R}{ϵ}_0$$

等效为一个平行板电容器

平行板电容器的级联和并联

1. 级联

$$\frac{1}{C}=\sum _i^n\frac{1}{C_i}$$

2. 并联

$$C=\sum _i^n{C}_i$$

电介质的极化

根据实验结果表明：当一个平行带点极板之间的介质变成${ϵ}_r$的电介质时，两极板的电压会减小，具体可表示为：

$$\mathrm{\Delta }u=\frac{\mathrm{\Delta }u}{{ϵ}_r}$$

因此，当中间的介质为${ϵ}_r$的时候，上面推导得出的电容公式都应该乘上${ϵ}_r$，后面的公式也一样

深入研究分析

通过做出高斯面分析可知，电势差减小的原因是电场减小，更直接的说时极板两侧的电荷减少。

1. 对于无极分子，会发生位移极化，即原本没有没有极性的分子在外部电场的作用下发生位移，导致正负电荷的中心不再重合，分子形成成为一个简易的电偶极子，阻碍场强的作用。
2. 对于有极分子，会发生取向极化，即原本算乱排布的分子会发生一定的角度偏移，从而来阻碍电场的作用。
   靠近极板两侧的电荷称之为束缚电荷，也是导致极板两侧电荷减少的原因。

静电场的能量

平行板电容器的能量

对于一个平行板电容器，有：

$$W={\int }_0^Q\frac{q}{C}dq=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{U}^2$$

又有：

$$U=EdC=\frac{{ϵ}_{0}S}{d}$$

带入有：

$$W=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^{2}Sd=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^{2}V$$

我们令$w_e$为单位能量密度，则有：

$$w_e=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2$$

这个公式可以推广计算静电场的能量