LightOj_1342 Aladdin and the Magical Sticks
题意:
地上有n种棍子, 其中有两种类型, 一种类型是可识别, 一种类型是不可识别, 每个棍子都有一个权值。
当你捡到可识别的, 那么你以后就不会再捡这个棍子, 如果是不可识别的, 那么你有可能还会捡。
问将所有棍子收集完的权值的期望。
思路:
此题借鉴参考了此篇文章:Aladdin and the Magical Sticks
首先, 这个题初看起来, 和LightOj 1027 A Dangerous Maze有点像, 只不过, 这里是要将所有的门都走遍。
先引入一个经典的问题:
邮票收集问题(Coupon Collector Problem)WiKi资料
求解邮票收集问题时, 由概率求期望时需要用到几何分布期望, 因此这里给出了几何分布期望的证明过程。 很简洁明了, 还有大量例子结合理解。
通过上面的问题, 我们可以假设, 我们现在面对的是一个n面的骰子, 骰子的每面都是随机出现的(相当于是不可识别的棍子), 求问将所有面都被看完所期望的投掷次数(假设只看最上面那一面)
那么, 问题的解就是:
H[n] = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n), 这就是调和级数的前n项。
这个值近似等于欧拉常数约为:0.57721566490153286060651209。(不过这是一个当n接近无穷时的近似值, 并不能代替具体的H[n], 比如当 n = 1 || 2时)
而所求的是期望的权值, 根据期望的线性性质E(XY) = E(X)*E(Y)
所以, 总的权值期望就等价于 每次的权值期望 * 次数的期望。
n个面, 每个面至少出现一次的期望次数是:E(x) = n * H[n],那么, 某个指定的面至少出现一次的期望次数就是E(z) = E(x)/n = H[n]。
因此, 假设这n个棍子都是不可识别的时候所期望的权值为:
Ea = E(w) * E(x), E(w)为权值的期望 = 权值的平均值。
但是, 这n个棍子里还有一些是可以识别的, 因此还要减去多余的期望。
先来计算一下可识别的棍子所需要的期望的次数, 这个答案为1。
当有六个球在箱子里, 采用不放回抽样, 你将六个球抽出来所期望的次数是多少?这是一个固定的值, 为6。
因此, 每个棍子多出来的部分就是(H[n] - 1) * w[i]。w[i]为某个可识别的棍子的权值。
设, 所有棍子的权值平均值为Wn
假设有k个可识别的棍子, 其权值平均值为Wk
So , 答案为: Ea - Eb = Wn * n * H[n] - k * Wk * (H[n] - 1)
化简: E = (Wn * n - k * Wk) * H[n] + k * Wk。
代码:
1 #include <cmath> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cstdlib> 5 #include <ctime> 6 #include <set> 7 #include <map> 8 #include <list> 9 #include <queue> 10 #include <string> 11 #include <vector> 12 #include <fstream> 13 #include <iterator> 14 #include <iostream> 15 #include <algorithm> 16 using namespace std; 17 #define LL long long 18 #define INF 0x3f3f3f3f 19 #define MOD 1000000007 20 #define eps 1e-6 21 #define MAXN 5050 22 #define MAXM 100 23 #define dd cout<<"debug"<<endl 24 #define pa {system("pause");} 25 #define p(x) printf("%d\n", x) 26 #define pd(x) printf("%.7lf\n", x) 27 #define k(x) printf("Case %d: ", ++x) 28 #define s(x) scanf("%d", &x) 29 #define sd(x) scanf("%lf", &x) 30 #define mes(x, d) memset(x, d, sizeof(x)) 31 #define do(i, x) for(i = 0; i < x; i ++) 32 #define dod(i, x, l) for(i = x; i >= l; i --) 33 #define doe(i, x) for(i = 1; i <= x; i ++) 34 int n; 35 double h[MAXN]; 36 void init() 37 { 38 h[0] = 0; 39 for(int i = 1; i < MAXN; i ++) 40 h[i] = h[i - 1] + 1.0 / i; 41 } 42 43 int main() 44 { 45 int T; 46 int kcase = 0; 47 init(); 48 scanf("%d", &T); 49 while(T --) 50 { 51 scanf("%d", &n); 52 int a, b; 53 double ans = 0; 54 for(int i = 0; i < n; i ++) 55 { 56 scanf("%d %d", &a, &b); 57 ans += a * (b == 1? 1 : h[n]); 58 } 59 printf("Case %d: %.5lf\n", ++ kcase, ans); 60 } 61 return 0; 62 }