矩阵快速幂优化线性递推

我们熟知的斐波那契数列递推公式是：

\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\)

假设我们需要求斐波那契数列的第n项，当n非常大（如n=1e9)的时候，递推肯定超时。我们不妨设：

\(\binom{f_{n}}{f_{n-1}}=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\binom{f_{n-1}}{f_{n-2}}\)

将等式右边乘开，得到： 

\(\binom{af_{n-1}+bf_{n-2}}{cf_{n-1}+df_{n-2}}\)

要使其等于等式左边，显然：

\(\binom{f_{n}}{f_{n-1}}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\binom{f_{n-1}}{f_{n-2}}\)

如此递推下去，我们最终能够得到：

\(\binom{f_{n}}{f_{n-1}}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}^{n-2}\binom{f_{2}}{f_{1}}\)

我们已知\(f1=1,f2=1\)，这样，我们就可以通过矩阵快速幂来求数列第n项了！ 像这样，对于所有的线性递推关系，我们都可以使用矩阵快速幂来优化ovo

模版如下(洛谷P3390 矩阵快速幂）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;

struct Matrix
{
    ll m[101][101];
}a,e;
ll n,k;

Matrix mul(Matrix x,Matrix y)
{
    Matrix c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            c.m[i][j]=0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            for(int k=1;k<=n;k++)
            {
                c.m[i][j]=c.m[i][j]%mod+x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}

Matrix mqpow(Matrix x,ll p)
{
    Matrix ans=e;
    while(p!=0)
    {
        if(p%2)
        {
            ans=mul(ans,x);
        }
        x=mul(x,x);
        p/=2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%lld",&a.m[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        e.m[i][i]=1;
    }//初始化
    Matrix ans=mqpow(a,k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            printf("%lld ",ans.m[i][j]%mod);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}