【笔记】韦达定理的定义与证明

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1.【笔记】韦达定理的定义与证明2023-06-16

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前言

已知,一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ $(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0)$ 有如下求根公式:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$

当 $\mathrm{\Delta }<0$ 时,方程无实数根;

当 $\mathrm{\Delta }=0$ 时,方程有两个相等的实数根( $x_1=x_2$ );

当 $\mathrm{\Delta }>0$ 时,方程有两个不相等的实数根( $x_1\ne x_2$ );

那么,当该方程有两个实数根时,这两个根的和,积如何计算?

这就要用到伟大的韦达定理了.

定义

当一个一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ $(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0)$ 的 $\mathrm{\Delta }\ge 0$ 时(记住,只有$\mathrm{\Delta }\ge 0$时韦达定理才成立!这是有惨痛经历的!),两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 满足以下等式:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

证明

根据求根公式,

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

则

$$x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{(-b-\sqrt{b^2-4ac})(-b+\sqrt{b^2-4ac})}{(2a{)}^2}=\frac{b^2-(\sqrt{b^2-4ac}{)}^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$$

证毕.