Bzoj 4371: [IOI2015]sorting排序 二分

题目

似乎很久没写题解了...

这题是校里胡策的时候的题，比赛因为评测机有点慢+自己代码常数大没快读...被卡t了，但是bzoj上还是A了的...，因为bzoj时限比较宽可以不卡常。

题解：

首先可以发现答案与操作顺序是无关的，也就是说，可以钦定答案就是x次操作，然后让先手的x次先全换了，然后再考虑我要怎么换，才能在最少次数内换成升序。

于是就可以直接枚举答案x，然后判一下x是否可行。

考虑如何判断，问题会变成，给定一个a序列，每次可以交换两个数，问最少交换多少次可以换成升序，也就是变成a[i]=i。

这是一个经典问题，考虑 i 必须换到 a[i] 的位置，于是就直接一直跳就好了，最后会变成若干个环。

一个环中如果有n个数，那么必须需要也只需要 n-1 次就可以换成 a[i]=i 的情况。

因此最少的交换次数就是每个环大小-1加起来，可以在 O(n) 的时间复杂度下完成判断。

那么枚举答案+判断答案是 O(n^2) 的，没得聊。

其实答案是可以二分的，满足二分性质。

证明：即证明如果答案为x可行，那么答案为x+1也必然可行，如果x可行，那么我花x次操作变成升序，然后第x+1次操作，先手怎么换，我就再换回去，序列依旧是升序的。

那么效率就是 O(nlogn) 的

虽然答案与顺序无关，但是操作方案是和顺序有关的。

转换一下思路，交换两个数，可以理解成两个位置交换，但是其实也可以理解成两个数字交换。

而位置和顺序有关，因为先手换完之后我本来想换的位置就会变了。

但是数字和顺序是没关系的，所以我记录一下我环中交换的那些数。

然后按题意模拟，每次维护一下now[i]表示 i 这个数现在的位置，于是就变得很简单了...

注意一下两个人都操作一次才算完，不能先手操作完后是升序的我就不操作了。

所以如果可以不操作的，要拿 0 0补满

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 200050
using namespace std;
int n;
int v[maxn],now[maxn];
int a[maxn],b[maxn],x[maxn*3],y[maxn*3];
struct qnode{
    int x,y;
}q[maxn*3];
int check(int m){
    for (int i=0;i<n;i++)
    b[i]=a[i],v[i]=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    swap(b[x[i]],b[y[i]]);
    int need=0;
    for (int i=0;i<n;i++)
    if (!v[i]){
        int x=i;
        while (!v[x]){
            v[x]=1;
            if (!v[b[x]]) {
                q[++need].x=b[x];
                q[need].y=b[b[x]];
            }
            x=b[x];
        }
    }
    return need;
}
int main(){
//    freopen("game.in","r",stdin);
//    freopen("game.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]),now[a[i]]=i;
    int Q;
    scanf("%d",&Q);
    for (int i=1;i<=Q;i++)
    scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    int l=0,r=Q;
    while (l<=r){
        int m=(l+r)>>1;
        if (check(m)>m) l=m+1;else r=m-1;
    }
    int need=check(l);
    printf("%d\n",l);
    for (int i=1;i<=need;i++){
        swap(a[x[i]],a[y[i]]);
        now[a[x[i]]]=x[i];
        now[a[y[i]]]=y[i];
        printf("%d %d\n",now[q[i].x],now[q[i].y]);
        swap(a[now[q[i].x]],a[now[q[i].y]]);
        now[a[now[q[i].x]]]=now[q[i].x];
        now[a[now[q[i].y]]]=now[q[i].y];
    }
    for (int i=need+1;i<=l;i++)
    printf("0 0\n");
    return 0;
}