线性规划学习笔记

线性规划

Introduction

线性规划，粗糙地看来就是对于线性的约束(等、不等)和线性的目标求极值。

可以写成以下形式:

1. 标准形

   $$\forall i, \sum_{j} a_{i, j}x_{j} \le b_i \\ \forall i, x_i \ge 0 \\ \max \sum_{i} c_ix_i$$

   亦(向量形式)

   $$AX \le B \\ X \ge 0 \\ \max C^{T}X$$

2. 松弛形

   $$AX=B \\ X \ge 0 \\ \max C^{T}X$$

   关于标准形与松弛形的转化：
   对于小于号，添加一个系数为负的自变量，
   大于号则系数为正。

   $$\sum_{j} a_{i, j}x_{j} \le b_i \\ \Leftrightarrow \sum_{j} a_{i, j}x_{j} + x_{new} = b_i x_{new} \ge 0$$

3. 单纯形

   $$\forall i \in [1, m], x_{n+i} = b_i-\sum_{j=1}^{n} a_{i, j}x_j \\ \forall i \in [1, n+m], x_i \ge 0 \\ \max \sum_{j=1}^{n}c_ix_i$$

   我们称$x_{1}$~$x_{n}$为非基本变量，$x_{n+1}$到$x_{n+m}$为基本变量
   事实上是松弛形的另一种写法

单纯形法

若$\forall i,b_i>0$
我们对于非基本变量全部取0是一个可行解，
当此时$\forall i, c_i \le 0$时达到最优，

如果并非最优，我们要更换一组基本变量，

$$x_{n+l} = b_l - \sum_{j=1, j \neq e}^{n}a_{l, j}x_j - a_{l, e}x_e \\ \Rightarrow x_e = \frac{1}{a_{l, e}}(b_l - \sum_{j=1, j \neq e}^{n} a_{l, j}x_j - x_{n+l})$$

方法是选出$c_e$最大的非基变量$x_{e}$，
用$a_{l, e} > 0$且$\frac{b_l}{a_{l, e}}$最小的$x_{n+l}$替换，
这样可以保证变化后$b_i \ge 0$,
同时使目标变化最大($c_{e}\frac{b_l}{a_{l,e}}$)
上述操作成为转轴

若初始时$b_i < 0$，找到一个负的$a_{i, j}$对其转轴，
不知道为什么一定会停下来。

对偶

我们有一组线性规划互为对偶:

$$AX \le B \\ X \ge 0 \\ \max C^{T}X \\ $$

$$A^{T}Y \ge C \\ Y \ge 0 \\ \min B^{T}Y$$

则

$$\max C^{T}X = \min B^{T}Y$$

大概长成这样:

	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$
$y_1$	$a_{1, 1}$	$a_{1, 2}$	$\cdots$	$a_{1, n}$	$b_{1}$
$y_2$	$a_{2, 1}$	$a_{2, 2}$	$\cdots$	$a_{2, n}$	$b_{2}$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$y_m$	$a_{m, 1}$	$a_{m, 2}$	$\cdots$	$a_{m, n}$	$b_{m}$
	$c_{1}$	$c_{2}$	$\cdots$	$c_n$	$z$

网络流模型

网络流本质也是一类线性规划问题，有部分线性规划问题可以通过网络流解决

流量守恒

对于线性规划问题我们写成松弛形式，
再通过线性变换使得每个变量只出现两次，符号相反，
那么我们将这些变量视为弧，将限制视为点，根据流量守恒构图。

对于区间类问题来说通常有变量连续出现的情况，
那么我们将相邻两个限制相减，
最后新添一条最后限制取反的限制，开头限制不变，
通常可以得到美妙的结果。

对偶

对于费用流，流量为$f_{u,v}$，最大流量为$c_{u,v}$,代价为$w_{u, v}$，每个点的流出减去流入$\le b_{u}$,我们有:

$$\forall u, \sum_{v} f_{v, u} - \sum_{v}f_{u, v} \ge -b_{u} \\ \forall u, v, -f_{u, v} \ge -c_{u, v} \\ \forall u, v, f_{u, v} \ge 0 \\ \min \sum_{u, v} f_{u, v}w_{u, v}$$

令对于边的对偶变量为$z_{u, v}$，对于点的为$p_{u}$,对偶得到

$$\forall u, v, p_v - p_u - z_{u, v} \le w_{u, v} \\ \forall u, v, z_{u, v} \ge 0 \\ \forall u, p_u \ge 0 \\ \max \sum_{u} -p_{u}b_{u} - \sum_{u, v} z_{u, v}c_{u, v}$$

因为$c_{u, v} \ge 0$,且$z_{u, v}$只有一条限制，我们令其取下界，得$z_{u, v} = \max(0, p_v - p_u - w_{u, v})$

$$\max \sum_{u} -p_u b_u - \sum_{u, v} c_{u, v} \max(0, p_v - p_u - w_{u, v}) \\ \Leftrightarrow -\min \sum_{u} p_u b_u + \sum{u, v} c_{u, v} \max(0, p_v - p_u - w_{u, v})$$

对于一个线性规划问题，若能化为上述形式，则必定可以通过费用流解决（只是方案难搞...

我们可以通过在目标式中添加若干$\infty$的项来做到加入限制

参考资料

单纯形法学习笔记 by p_b_p_b
《再探线性规划对偶在信息学竞赛中的应用》 - 学习笔记 by p_b_p_b

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