04-24 模拟赛总结

04-24 模拟赛总结

T1

写个分数类， 把方差的括号拆开来， 用 __int128 硬算即可

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推式子

只有方差这里可能爆 i64， 原因是两个 1e10 级别的互质分母一通分就炸了

$$\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{方}\mathrm{差}：\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{1}{i}(\sum A_j^2-2\ast \sum A_j{B}_i+\sum B_i^2)$$

$$=\frac{1}{i}(\sum A_j^2-2B_i\sum A_j+i{B}_i^2)$$

$$=\frac{1}{i}\sum A_j^2-2B_i{B}_i+B_i^2$$

$$=\frac{1}{i}\sum A_j^2-B_i^2$$

这样一来， 本来通分会炸的东西化没了， 所以 i64 也可过

Summary

做题的时候大体算一算结果的范围， 决定开不开 __int128 或者再优化 / 重新想， 有时候结果范围不同做法可能也不同（做到这样的题再更）

T2

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画图解决

判断是否匹配的一种做法就是做前缀和， '(' + 1， ')' - 1， 要求是 sum 时刻 >= 0 并且结束时 = 0

那么在图上， 对于每个点， 能匹配上的点对满足如下条件 ：

​ 中间没有比他们更大的

这样， 第 i 组右括号的一段前缀就能和他匹配， 形成一个新区间

​ 注意：如果有多个高度相同的段， 要把他们加在一起， 因为每一个都是合法的

用一个单调栈维护， pop 是累加上面所述的情况的答案

栈里剩下的那个元素一定能使第 i 组的右括号全都匹配上， 形成 c[i] 个新区间

如果栈为空， 即 $su{m}_i<=mini$ 则 i 低于 mini 的那部分匹配不上， 没有贡献， 因为在 pop 时 mini 这组的答案已经加上了， 所以在这里再减去 1 （我们假设算重了的是最后的 1 个， 即上一段所指的 '最后一个'）

Summary

括号匹配的几种思路

1. 数形结合， 如本题的图像
2. 用栈贪心的匹配， + Dp 计算区间个数（我的暴力）

T3

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60 pts

35 pts 的思路是 dp[i][a][b][c] 表示第 i 位， 最后四位的后三位是 $a_a,a_b,a_c$ （变量重名了哈哈哈）， 由 dp[j][a'][b'][c'] (j < i) 转移过来

然后就发现 dp[i][a][b][c] 除了选了第 i 位的是 dp[i][a][b][i] 之外其余都是从 i - 1 继承过来的， 而选第 i 位只会发生一次， dp[i][a][b] 也完全可以表示原来状态的含义， 所以去掉一维即可

dp[i][a][b] 由 「 $\sum dp[a][b][c]$ 并且 i, a, b, c 位置的异或值不为 s 」转移过来， 因为和 i, a, b 异或值为 s 的数只有一个， 所以对每个 dp[i] 求和， 算的时候再减去那一个不合法的即可

100 pts

所有元素都不相等就挺有意思

因为这样的话容斥起来不会多算， 简单

$$dp[i][j]=\sum _{j<i\mathrm{\&}\mathrm{\&}k<j}dp[j][k]-\sum _{a_{i}xor{a}_{j}xor{a}_{k}xor{a}_{l}xor{a}_m==sl<k\mathrm{\&}\mathrm{\&}m<l}dp[l][m]$$

$$xor\mathrm{是}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{移}\mathrm{项}\mathrm{的}，a_{i}xor{a}_{j}xor{a}_{k}xor{a}_{l}xor{a}_m=s\mathrm{即}{a}_{i}xor{a}_{j}xors=a_{l}xor{a}_m$$

以上的东西可以开个数组维护， 详情看代码

Summary

% MOD 这个东西很慢， 对于加法， 我们可以

x = x > MOD ? x - MOD : x;

dp 的转移通常是可以有暴力一步一步优化的， 所以写完暴力之后想想能不能再优化