CF1530F Bingo

CF1530F Bingo

题解

容斥

• 问至少 1 行/列/对角线 全为 1 的概率
  • 转化为求每 行/列/对角线 至少有 1 个 0 的概率
  • 总概率 1 减去他就是答案
• 每行的状态相互独立
  • 考虑枚举列和对角线的状态，0 表示存在 0，1 表示全是 1
  • 根据列和对角线能推出每一行的状态
  • 每一行的状态乘积就是当前 列/对角线 的状态的方案数
• 对于 列/对角线的状态
  • 减去有奇数个 1 的，加上有偶数个 1 的

代码

# include <bits/stdc++.h>
# define int long long
using namespace std;
const int MOD = 31607;
const int N = (int)2e6 + 10;
 
int n, temp;
int f[22][1 << 21];
int ans;
 
int Q_pow(int a, int b){
	int ans = 1, p = a;
	while(b){
		if(b & 1){
			ans = (ans * p) % MOD;
		}
		p = (p * p) % MOD;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
 
int lowbit(int x){
	return x & (-x);
}
 
signed main(){
	cin >> n;
	int up = (1 << n) - 1, base = Q_pow(10000ll, MOD - 2);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		f[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= n; j++){
			cin >> temp;
			temp = temp * base % MOD;
			f[i][1 << (j - 1)] = temp;
		}
		for(int j = 1; j <= up; j++){
			f[i][j] = f[i][j ^ lowbit(j)] * f[i][lowbit(j)] % MOD;	// 状压这一行对应的列的状态
		}
	}
	int upp = (1 << 2) - 1;
	for(int i = 0; i <= upp; i++){
		for(int j = 0; j <= up; j++){
			int cnt = __builtin_popcount(i) + __builtin_popcount(j);
			int num = 0;	// 容斥系数
			if(cnt % 2){
				num = -1;
			}else{
				num = 1;
			}
			for(int k = 1; k <= n; k++){
				int a = j;	// 列的状态
				int b = (i & 1)  * (1 << (k - 1));	// 对角线 1 在 第 i 行对应的状态 
				int c = ((i >> 1) & 1) * (1 << (n - k));	// 对角线 2 在 第 i 行对应的状态 
				int d = a | b | c;
				num = num * (f[k][d] - f[k][up] + MOD) % MOD;
			}
			ans = (ans + num) % MOD;
		}
	}
	ans = (1 - ans + MOD) % MOD;
	cout << ans << "\n";
}