Day-5

DP

背包

多重背包 单调队列

• ？？？

P4141

• 退背包
• 由暴力到优化
  • 每删一个， 做一次背包
    • $n^{2}m$
  • 前后缀
    • F(i, j) 前 i 件， G(i, j) 第i - n 件
    • $n{m}^2$
  • 退掉 i 物品
    • $f(i,j)=\sum f(i-1,x)$
    • $f(j)-=f(j-w_i)$
• 拓展：去掉 i ， 求 max
  • 分治背包
  • 目的：除 i 以外的背包
  • 每次走哪边， 就把相反的一边加入（走左加右）， 走到最底层， 就只有一个点没加进去， 达成目的

P2371

• 背包做法
• n 比较小， a 相比 l， r 较小
• 凑出 x， 则 $x+a_1,x+2a_1....$ 都可以凑出来
  • j 通过 a_k 到 $(j+a_k)\mathrm{\%}{a}_1$, $dp[(j+a_k)\mathrm{\%}{a}_1]=dp[j]+a_k$, 形似最短路

P8392

• 重量很小， 数量， 个数都很大
• 贪心能得到 < l 的最大个数
• 贪心 + DP
  • 怎么调整 ？？？
  • 再跑一次多重背包

P4322

• 暴力 $dp(i,k,\sum a)=\sum b$
  • 求 b 的最小值
• 答案为 ans
  • $ans\le \sum a/\sum b$
  • $0\le \sum (a-b\ast ans)$
  • 二分 ans， 树形背包

区间DP

• 倒着考虑
• 最后一共一堆
  • 上一步是一个前缀和一个后缀合并
  • 都是区间合并
  • 枚举由哪两个区间合并

BZOJ 4380

• [l, r] -> 找区间最小值 -> 全局最小值 ：跨过全局最小值的花费为它

  • 剩下的分为两种：在他左边的， 右边的 -> 两个区间
  • 只有 f(l, r) 没法转移
    • 再记录一维最小值 k， f(l. r, k)

• c 离散化

• 枚举最小值的位置 p 和值 k

  • 枚举左右边的最小值(>= k) 复杂度太高
  • 对左右边最小值做前缀和，O(1) 转移

• $O(n^{3}m)$

• 脑子里存着做法， 考试的时候试

AGC 26 D

• h 全相等怎么做
  • 确定一行， 剩下的最多有两种填法
  • 确定最下面， 上面 01 反转 $2^n(\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{行}{2}^n,\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{行}\mathrm{确}\mathrm{定}\mathrm{了}\mathrm{上}\mathrm{面}\mathrm{只}\mathrm{有}1\mathrm{种}\mathrm{填}\mathrm{法})$
  • 01 交替 $2^h$
    • 重复的：010101..., 101010 (01反转)
• 不全相等？
  • 最下面加上一行， 假设上面已知， 要求你填这一行 懒人思维法
  • 上面的
    • 01交替 || 空的：方案数*2
    • 否则不变
  • 上面的和第一行一样
  • dp(l, r, k, 0/1) 区间[l, r], 高为k, 是否01交替
• $O(n\ast n\ast h_i\ast 2)$
  • 但是有些 $h_i$ 用不到（h0 = 1, h1 = 10， h2 = 1）
  • 高出去的都可以跳掉（单独算）
• 怎么分段？
  • 由 $h_i$ 的最小值分成左右两部分
  • 用笛卡尔树

CF1372E

• 假设上面的都填好了， 你要填最后一行
  • 往 1 多的列填
  • 枚举一列， 让所有的 1 在这一列
  • 分成左半部分， 右半部分的子问题
• f(l, r) 表示区间[l, r] 的最优， 并且只考虑了(l <=u <= v <= l 的区间)，u， v是题目中的区间两端点

P6563

• 懒人：x 在 [l, r] 中， 还要多少代价
• f(l, r) = min(max(f(l, k), f(k + 1, r) + ak))
• 优化？
  • a 单调不降
  • 随着 k 的枚举， ak 越来越大， 代价可能越来越大（f单调性未知）
    • 拆开 max
    • k 增大， f(l, k) 增大， f(k + 1, r) 减小
    • f(l, r) 有一个前缀取f(k + 1, r), 一个后缀取 f(l, k)， 有一个分界点（二分得到）
    • 后缀：f(l, k)， ak都单增， 取结尾最大
    • 前缀：f(l, r) = min(f(k + 1, r) + ak) 同一个 r
      • 线段树
  • 7000 的点不能带 log
  • 泛化：单点修改， 区间 min， 只能 log
    • 什么时候区间min不带log -> 单调队列
  • ？？？

四边形不等式

• f(i, j) = min(f(i, k - 1) + f(k, j) + w(i, j))
• 如果w满足
  • 区间更小更优
  • 交叉优于包含
    • （见课件）
  • 性质：
    • (i, j) 的最优决策点是 k， 则(i, j + 1) 的 >= k
• 如何w判断是否满足单调性 (PPT)
• 在区间里暴力枚举决策点（PPT）

石子合并

• 最小代价
  • 小区间代价小于大区间
  • 交叉优于包含（？？）

决策单调性

• 一维：二分队列 ？？？
• 二维：暴力枚举

？？？

// 下午

Loj 6039

• 暴力 f(i, j) 前 i 个， 体积为 j 的最大价值 $O(nk)$

• 假设 c 相同

  • 贪心选价值大的
  • 同体积排个序， 从大到小选 $O(nk)$
  • $f(i,j)=maxf(i-1,j-v_k)+w_k$
  • 作用：改变转移式， 用来优化

• 单调性

  • 考虑四边形不等式
  • 但是唯一的价值函数 w 是一维的
  • 转化：
    • $w_k=w_{j-k,j}$
    • 跟长度有关，交叉优于包含
  • 为什么满足决策单调性？

• 把一维函数改写成满足四边形不等式的函数

斜率优化

板子

• 推导

  • $f(i,j)=min(f(k,j-1)+(s_i-s_k{)}^2)+c$

  • 假设 j < k 且 f(k) 优于 f(j)

  • $f(j)+(s_i-s_j{)}^2\ge f(k)+(s_i-s_k{)}^2$

  • 设 $f(j)+s_j=g(j)$

  • $g(j)-2s_i{s}_j\ge g(k)-2s_i{s}_k$

  • $\frac{g(j)-g(k)}{s_j-s_k}\ge 2s_i$​ 类似于斜率的公式

  • 另一个

    • $f(i)=min(f(k)+(s_i-s_k{)}^2)+c)$

    • $f(k)+s_i^2+s_k^2-2s_i{s}_k$

    • $f(i)=min(f(k)+s_k^2-2s_i{s}_k)+c+s_i^2$

    • $f(i)=min(g(k)-2s_i{s}_k)+...$

• 然后？？

• 上/下凸包？？？

• 好写的方法：向量判断

P3648

• DP 顺序

  • 代价和分割顺序无关

• 暴力 $f(i,k)=max(f(j,k-1)+(s_i-s_j)\ast (s_n-s_i))$

• $s_i{s}_n-s_i^2\mathrm{丢}\mathrm{掉}$ && $f(j)-s_j{s}_n=g(j)$ && $-s_i{s}_j$

• 设 j < k 且 k 优于 j

• $\frac{g(k)-g(j)}{s_k-s_j}\ge -si$

• 看成点 $(s_i,g(i))$

• $-s_i$ 单减， 上凸包

• 判断凸包

  • 找三个点， 构成三角形

  • 斜率由正无穷减小

  • 上凸包

CF1175G

• 暴力：$f(i,k)=min(f(j,k-1)+(i-j)\ast ma{x}_{j+1,i})$

• 消掉 max

  • 单调栈
  • 分成一段一段， 段内 max 相同

• $f(j)+(i-j)\ast max$​ max会变

• 离线凸包 或 在线李超树

  • 有很多条函数， 维护他们他最大值 $F(i)=max(f(i),g(i)...)$
  • 最小值是上凸包， 最大值是下凸包
  • 合并凸包：启发式

• 题解

CEOI 2017

• 在端点相交 1 3 建了桥， 2 4就不能建桥
• $f(i)=min(f(j)+(h_i-h_j{)}^2+s_{i-1}-s_j$
• $g(j)=h_j^2+f(j)-s_j$
• j < k 且 k 优于 j
  • $g(k)-g(j)\le 2h_i(h_k-h_j)$ 但是 $h_k-h_j$ 正负未知，无法移项
• 法二：
  • $f(i)=min(f(j)+(h_i-h_j{)}^2+s_{i-1}-s_j$
  • min 拆开
  • $f(i)-s_{i-1}-h_i^2=-2h_i{h}_j+f(j)+h_j^2-s_j$
  • $g(j)=f(j)+h_j^2-s_j$
  • $f(i)$ 尽可能小 -> $-2h_i{h}_k$ 变小
  • $-2h_i{h}_j$ -> 直线 $kx$
  • 最小值是上凸包， 李超树

wqs 二分

• 解决的问题：恰好分为 k 段， 且该函数为凸函数

• 解决办法：用直线切凸包， 不断改变斜率

• 二分斜率

• 描述 ‘切’

  • 过凸包上每一个点做一条该斜率的直线
  • 切点在 y 轴的截距最大/小（上/下凸包）
  • $kx+b\mathrm{的}b\mathrm{最}\mathrm{大}/\mathrm{小}$

板子

• 段数越多， 答案越小
• 下凸包
• 最小化 $f(x)-kx$​
• 实现？？？

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