Gcd, Lcm的关系证明

根据唯一分解定理

• $n=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast p_3^{a_3}...$
• $m=p_1^{b_1}\ast p_2^{b_2}\ast p_3^{b_3}...$
• $Gcd(n,m)=p_1^{min(a_1,b_1)}\ast p_2^{min(a_2,b_2)}\ast p_3^{min(a_3,b_3)}...$
• $Lcm(n,m)=p_1^{max(a_1,b_1)}\ast p_2^{max(a_2,b_2)}\ast p_3^{max(a_3,b_3)}...$
• 所以 $Gcd(n,m)\ast Lcm(n,m)=n\ast m$
• 即$Lcm(n,m)=\frac{n\ast m}{Gcd(n,m)}$