P3195

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• 斜率优化

• 暴力转移：

  • $f(i)$ 表示考虑到第 $i$ 个玩具达成的最小费用
  • $f(i)=min(f(j)+(i-j+\sum _{j+1}^{i}c-L{)}^2)$
  • 设 $s_i=\sum _1^i+i$
  • $f(i)=min(f(j)+(s_i-s_j-1-L{)}^2)$
  • 不妨设 $L=L+1$
  • $f(i)=min(f(j)+(s_i-s_j-L{)}^2)$​

• 消掉常数项 $f(j)+(s_j+L{)}^2-2s_i{s}_j$

  • 设 $g(i)=f(i)+(s_i+L{)}^2$

• 设 $j<k<i$ 且 $f(j)\ge f(k)$

  • 则 $g(k)-2s_i{s}_k\le g(j)-2s_i{s}_j$
  • $\frac{g(k)-g(j)}{s_k-s_j}\le -2s_i$​

• 

• 设点 $A,B,C=(s_i,f(i)+(s_i+L{)}^2)$

  • 设 $2s_i=s_0$ 斜率为 $k_1,k_2$
  • 若 $s_0\le k_1\le k_2$ 则 A > B > C
  • 若 $k_2\le s_0\le k_1$ 则 A, C > B
  • 若 $k_2\le k_1\le s_0$​则 C > B > A

• 跟 B 始终无关 -> A, C 连边构成下凸包

• 关于代码

  • Slope(q[l + 1], q[l]) <= 2.0 * sum[i] 说明 q[l + 1] > q[l]， 舍弃 q[l]
  • Slope(q[r], q[r - 1]) >= Slope(i, q[r]) 说明 i > q[r] > q[r - 1]，舍弃 q[r - 1]

# include <bits/stdc++.h>
# define int long long
# define double long double
using namespace std;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
const int N = (int)1e6 + 10;
 
int n, ll;
int c[N], sum[N];
int q[N], l, r;
int dp[N];
 
int X(int x){
	return sum[x];	//
}
 
int Y(int x){
	return dp[x] + (sum[x] + ll) * (sum[x] + ll);
}
 
double Slope(int x, int y){
	return 1.0 * (Y(x) - Y(y)) / (X(x) - X(y));
}
 
signed main(){
//	freopen("1.in", "r", stdin);
	cin >> n >> ll;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> c[i];
		sum[i] = sum[i - 1] + (c[i] + 1);
	}
	ll++;	// ll 和 1 合并， 见式子 
	
	l = 1, r = 1;
	q[1] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		while(l < r && Slope(q[l + 1], q[l]) <= 2.0 * sum[i]){
			l++;
		}
		int j = q[l];
		dp[i] = dp[j] + (sum[i] - sum[j] - ll) * (sum[i] - sum[j] - ll);
		while(l < r && Slope(q[r], q[r - 1]) >= Slope(i, q[r])) {
			r--;
		}
		q[++r] = i;
	}
	cout << dp[n] << "\n";
}

注：a > b 表示 a 比 b 优