Day-3

Dfs序

CF383C

• 简化：子树加， 子树和（线段树 + Dfs 序）
• 考虑对树做一个奇偶的分层
  • x 的深度为奇数， x 子树中， 深度为奇数 + ， 深度为偶数 -

BZOJ3306

• 小技巧：换根， Dfs序

  • 现在的根为 x， 原来的为 rt

    • y 在 x 的子树内 -> 无影响
    • y 在 x 到根路径上 -> 影响
    • 其他无影响

  • if (Lca(x, y) == y)

    • 找到离 y 最近的一点 z （x， y 之间）
    • 刨去 z 的子树， 询问剩下所有点的最小值

  • 分类讨论

P3128

• 树上差分
• x 到根的和 + y 到根的和 - Lca 到根的和 - Lca 的父亲到根的和
  • x++, y++, Lca--, fa[Lca]--

P2680

• 最晚完成的工作完成的最早时刻
  • 二分
• 找出所有 > mid 的计划， 修改的边一定在 (x, y) 路径上 （公共边）
  • 树上差分找公共边
  • 边权最大的改成虫洞

P4216

• 一个 log
• 询问：(x, y) 上有多少大于 c 的
  • i - c 时刻， 有多少 > 0 的点 （打个标记就行）
• 操作变为（离线）
  1. val 0-> 1
  2. 路径上 1 的个数（路径和）
• f[x] ：x 到根路径的和（子树加问题）
  • Dfs序， 区间加， 单点查（线段树）
  • 子树 [l] + 1, [r + 1] - 1 （树状数组）
• 如果强制在线
  • 主席树（维护历史版本）

P5838

• (x, y) 有多少 = c

• ‘和’ 可以差分

• 求点到根路径上有多少个 c

  • 离线

  • 同时处理同一个 c 的

• 时间复杂度

  • 修改 总共 $O(n)$ （均摊）
  • 询问 总共$O(mlogn)$

• 题解lzyqwq 树剖

HDU 5692

• 转化为以 0 为根， 查询 x 子树内到根路径的最大值

P4211

l, r 如何转化

l -> r 按 Dfn 排序， 找有多少点在 z 的子树内， 有多少在 z -> 0 的路径上， 有多少不和 z 在同一子树

1. dep = dep[z]
2. dep = dep[x]
3. dep = dep[0]

Lca 都在 (z, 0) 上

• z 到 [1, r] 的 Lca_dep 和， 到[1, l - 1] 的 Lca_dep 和
• 维护集合（修改 n 次)
  1. 插入
  2. z 与集合中 Lca_dep 和
• 集合点 x
  • x 到 0 路径 + 1
  • z 到根的路径和 等价于 Lca 的 dep
• 树链剖分
• k 次方 [P5305 GXOI/GZOI2019] 旧词 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

CF696E

输出排名

• 先找最大/小的， 删掉， 重复 k 次

• 路径信息无法差分, 子树加 -> 树剖
• 维护路径min, 子树加
• 每个节点可能有多个物品, 维护 vector, 删除后找一个次大的挂上去

P4219

• 负载: x 这边的点数 * y 这边的

• 在线不好做

  • 离线

• 边权 0->不连通, 1->联通

  • 加边:一条边的权从 0 改成 1

• 然后?

CF536E

需要把所有 0/1 都求出来吗

• 树剖作用:路经查询 -> 区间查询

• 按 l 排序

  • 单点修改,

- 然后

//下午

可持久化数据结构

• 每次操作是一个新的时刻
• 可查询 i 时刻的信息
  • 暴力方法: 把线段树复制一遍, 在新的上面修改 $O(n)$
  • 单点修改只影响 log n 个节点, 只新建这些, 原来的不动 -> 路径复制 (一种可持久化方法)
    • 查询, 修改 $O(logn)$
    • 空间 $O(nlogn)$
• 区间修改
  • 标记下放 -> 把父亲和儿子都复制一遍, 在新节点上下放
  • 标记永久化

P3834

• 离散化, 动态开点 用其中一个即可
• 给定区间, 查 < x 的数的个数?
  • [l, r] -> [1, r] - [1, l - 1]
  • 类似于差分
• 方法一 : 二分答案 $O(nlo{g}^{2}n)$
• 方法二 : 和线段树一起二分(每次舍去一半的区间)
  • 原理: 两颗线段树对应节点表示的值域相同

P4592

子树问题, 可持久化 01Trie ?

Dfn, 1 棵可持久化 01Trie (1 - n 个时刻), 树剖

• opt 1
  • Dfs 序, 转化成区间 [l, r] 与 z 的最大异或
  • 可持久化 01Trie, 1 - n 个时刻(和主席树一样)
  • $O(log\mathrm{值}\mathrm{域})$
• opt 2
  • 路径: 树上差分
  • 树上主席树
    • 维护节点到根的可持久化 01Trie, 子节点的上一个版本是自己的父亲
    • + x到根 + y到根 - Lca到根 - Lca的父亲到根
    • 在四颗树上一起二分

P3567

其他思路: 找区间中位数, 查询其次数, 如果小于一半, 那就不存在绝对众数, 否则答案是他?

• 可持久化值域线段树

• 在线段树上二分找出现次数 > 一半的区间, 直到递归到叶子, 否则无答案

• 其他:摩尔投票, 随机化...

P2839

最大中位数, 端点取值范围 ??

好像不可以对中位数的值或者端点二分, 没有单调性

• 二分一个中位数 mid, 验证
  • 把 > mid 的标记为 1, < 的标为 - 1
    • mid 从小变大， 序列中的数 1 -> -1
    • 预处理出 mid = 1 -> n
      • 可持久化线段树
  • 找一个区间, 使得和 >= 0
• 转化为: 求出一个和最大的区间
  • [b + 1, c - 1] 必选
  • [a, b] 的后缀最大值, [c, d] 的前缀最小值
  • 怎么求

CF464E

• 图论（最短路） + 数据结构
• $dis[y]=dis[x]+2^v$
  • 用数据结构维护dis (值域线段树)
  • dis -> 两个 01 串比大小， 找最长公共前缀， 比较前缀的后一位
  • 二分哈希 线段树维护 $O(logn)$
    • 两个线段树结构相同
  • 可持久化， y 的历史版本是 x
• 修改 ？
  • 复制一份， $+2^v$
  • 相当于在 v 单点修改
  • 如何解决进位问题 ？
    • 暴力进位的复杂度不对
    • 二分极长的 1 的连续段的开头 或 线段树维护最靠右的 0 的位置
• 修改 $O(logn)$ ， 比大小一样
• Dij 带个 log

P3402

• 部分持久化：只查询历史版本， 不对其进行修改（主席树板子）
• 完全持久化：对历史版本做修改， 得到多个新版本（上一题dis， 本题）

• 如果不路径压缩：查询复杂度 $ O(n) $,\mathrm{每}\mathrm{次}\mathrm{返}\mathrm{回}\mathrm{历}\mathrm{史}：$O(n ^ 2) $
  • 带均摊的数据结构不好访问历史版本， 可以卡
• 按秩合并
  • 按 si， dep 等
  • si[x] > si[y], fa[y] = x
  • 2 * si[y] < si[x] + si[y], 最多向上走 log 步
• 可持久化数组 + 按秩合并

P3302

启发式合并

• 树上主席树
  • 维护 x - > 根的路径权值
• （线段树合并是均摊复杂度？）用不了
• 启发式合并
  • 以 si 较大的树的根为根
  • 重建较小树的主席树 $O(nlo{g}^{2}n)$
• 细节
  • 合并 Lca：启发式合并维护倍增表

Loj 6144

怎么维护 或 的最值

直接分别建一颗主席树， 一颗 01Trie ？

• 异或：trie 的左右子树互换
• 与， 或：具有破坏性
  • 使 trie 的分支减少
  • 均摊：log 位， 暴力重构， $O(nlo{g}^{2}n)$

数据结构注意常数