二项式系数的平方和

二项式系数的平方和

$$C_{2\times n}^n=\sum _{i=0}^n(C_n^i{)}^2$$

• 推导

$$(1+x{)}^{2\times n}\mathrm{的}{x}^n\mathrm{次}\mathrm{项}\mathrm{的}\mathrm{系}\mathrm{数}\mathrm{为}{C}_{2\times n}^n(\mathrm{二}\mathrm{项}\mathrm{式}\mathrm{定}\mathrm{理})$$

$$(1+x{)}^{2\times n}=(1+x{)}^n\times (1+x{)}^n$$

$$\mathrm{其}\mathrm{中},x^0\times x^n,x^1\times x^{n-1}......x^n\times x^0\mathrm{能}\mathrm{凑}\mathrm{出}{x}^n$$

$$\mathrm{他}\mathrm{们}\mathrm{的}\mathrm{系}\mathrm{数}\mathrm{和}\mathrm{为}{C}_n^0\times C_n^n+C_n^1\times C_n^{n-1}......+C_n^n\times C_n^0$$

$$\mathrm{因}\mathrm{为}{C}_n^i=C_n^{n-i}$$

$$\mathrm{所}\mathrm{以}{C}_{2\times n}^n=\sum _{i=0}^n(C_n^i{)}^2$$