P3985 不开心的金明

P3985 不开心的金明

• 这道题好像是01背包，但价格 $v[i]$ 是 ${10}^9$ 级别的，意味着dp数组的第一维要开到 ${10}^9$，显然不可能

• 题目中说：

对所有的 $i=1,2,3,\dots ,N$，$min(v_i)\le v_i\le min(v_i)+3$.

• 也就是 $v[i]$ 的最大值最小值的差不大于3，由此想到把每个 $v[i]$ 减去 $v[i{]}_{min}-1$，再按照01背包去做

• 但是都减去一个数后无法通过一般的01背包的dp数组确定“考虑了前 $i$ 件物品，总价为 $j$”中的 $j$，所以要把状态表示改变一下

状态表示

$$dp[j][k]\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{了}\mathrm{前}i\mathrm{件}\mathrm{物}\mathrm{品}\mathrm{后}（\mathrm{包}\mathrm{括}\mathrm{当}\mathrm{前}\mathrm{物}\mathrm{品}），\mathrm{选}\mathrm{了}k\mathrm{件}\mathrm{物}\mathrm{品}，\mathrm{减}\mathrm{去}v[i{]}_{min}-1\mathrm{后}\mathrm{的}\mathrm{总}\mathrm{价}\mathrm{为}j$$

• 所以转移方程如下

$$dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-v[i]][k-1]+p[i])$$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int INF=1e9;
 
int n,w;
int mini=INF,sum,maxi;
struct Obj{
	int v,p;
}in[101];
int dp[1001][1001];
 
signed main(){
//	freopen("1.in","r",stdin);
	
	cin>>n>>w;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>in[i].v>>in[i].p;
		sum+=in[i].v;
		mini=min(mini,in[i].v);
	}
	mini--;
	sum-=mini*n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		in[i].v-=mini;
		
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=sum;j>=in[i].v;j--){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				if(j+mini*k<=w)
					dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-in[i].v][k-1]+in[i].p);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=sum;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			maxi=max(maxi,dp[i][j]);
	}
	cout<<maxi<<"\n";
}