Contest 23-04-18

#D.糖果镇

思路

• $m=3$时整个路径有两个拐点,分别是$m=1\to m=2,m=2\to m=3$

• 设拐点$1$在第$i$列,拐点$2$在第$j$列,则路径上的数字总和为$(front[1][i])+(front[2][j]-front[2][i-1])+(back[j])$($front[i][j]$表示第i行$1\to j$的前缀和,$back[j]$表示第$3$行$j\to n$的后缀和)

• 把带有$i$和$j$的项分开,设$f[i]=(front[1][i]-front[2][i-1]),g[j]=(front[2][j]+ba[j])$,则$res=ma{x}_{1\to n}(res,f[i]+g[j])$

• 所以只要枚举$i,j$就可以

数据点分治

m=1

• 只能一直往前走,累加即可;

  //m=1
  if(m==1){
      ans=0;
      for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+in[1][i])%p;
      cout<<ans%p<<"\n";
      return 0;
  }

m=2

• 预处理$f[i],g[i]$,暴力枚举一个拐点即可(两行只有一个拐点)

  //m=2
  else if(m==2){
      ans=0;
      for(int i=1;i<=n;i++)
          ans=max(ans,(front[1][i]+front[2][n]-front[2][i-1])%p);
      cout<<ans%p<<"\n";
      return 0;
  }

所有$a_i$的和$<$模数$p$

• 按照正常DP来做就可以
• 为什么模数会对结果有影响:
  • 如果$f[i]+g[j]$恰好等于$p+1$而$f[x]+g[y]$等于$p-1$,那么同时模$p$后第一个的结果小于第二个,常规DP得到的却是第一个大于第二个,所以只有在取模对原结果无影响(原结果小于模数)时才能用常规DP

  //sum<p
  else if(sum<p){
      for(int i=1;i<=m;i++){
          for(int j=1;j<=n;j++){
              dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+in[i][j];
          }
      }
      cout<<dp[m][n]<<"\n";
      return 0;
  }

m=3

• 按照上面的思路,$f[i]$的$i\le g[j]$的$j$,所以要按照一定顺序,把下标大于等于当前$i$的$g[i]$找出来,和$f[i]$区和,求最大值

• 求$f[i],g[i]$的时候一步一取模,使得$f[i],g[i]\le p-1$,所以$f[i]+g[j]$有$>p$和$<p$两种情况,对于给定的$f[i]$

  • $f[i]+g[j]>p\to g[i]$属于$[p-f[i],p-1]$
  • $f[i]+g[j]<p\to g[i]$属于$[0,p-1-f[i]]$

值域线段树

• 和普通线段树类似,不过改成了动态开点
• 用值域线段树维护区间$[0,p)$中各个子区间内$g[i]$的最大值
• 这里按照倒序(正序也可以)往线段树里插入$g[i]$,再用前文分类讨论的两个区间区$g[i]$的最大值与$f[i]$想加,取最大值作为结果

  //线段树
  struct Node{
      int l,r;
      int lc,rc;
      int maxn;
  }t[40*N];
  int cnt=1;
   
  void Push_up(int id){
      t[id].maxn=-INF;
      if(t[id].lc) t[id].maxn=max(t[t[id].lc].maxn,t[id].maxn);
      if(t[id].rc) t[id].maxn=max(t[t[id].rc].maxn,t[id].maxn);
  }
   
  void Modify(int id,int pos){
      if(t[id].l==t[id].r){
          t[id].maxn=pos;
          return;
      }
      int mid=(t[id].l+t[id].r)/2;
      if(pos<=mid){
          if(!t[id].lc){
              t[id].lc=++cnt;
              t[cnt].l=t[id].l; t[cnt].r=mid;
              t[cnt].lc=0; t[cnt].rc=0;
              t[cnt].maxn=-INF;
          }
          Modify(t[id].lc,pos);
      }
      else{
          if(!t[id].rc){
              t[id].rc=++cnt;
              t[cnt].l=mid+1; t[cnt].r=t[id].r;
              t[cnt].lc=0; t[cnt].rc=0;
              t[cnt].maxn=-INF;
          }
          Modify(t[id].rc,pos);
      }
      Push_up(id);
  }
   
  int Query(int id,int l,int r){
      if(l<=t[id].l && t[id].r<=r) return t[id].maxn;
      int mid=(t[id].l+t[id].r)/2;
      int ret=-1;
      if(t[id].lc && l<=mid) ret=max(ret,Query(t[id].lc,l,r));
      if(t[id].rc && r>=mid+1) ret=max(ret,Query(t[id].rc,l,r));
      return ret;
  }

  //m=3
  ans=0;
  for(int i=n;i>=1;i--){
      Modify(1,g[i]);
      int ret;
      ret=Query(1,0,p-1-f[i]);
      if(ret!=-1) ans=max(ans,f[i]+ret);
      ret=Query(1,p-f[i],p-1);
      if(ret!=-1) ans=max(ans,(f[i]+ret)%p);
  }
  cout<<ans<<"\n";

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int INF=1e9;
const int N=1e5+10;
 
struct Node{
    int l,r;
    int lc,rc;
    int maxn;
}t[40*N];
int cnt=1;
 
void Push_up(int id){
    t[id].maxn=-INF;
    if(t[id].lc) t[id].maxn=max(t[t[id].lc].maxn,t[id].maxn);
    if(t[id].rc) t[id].maxn=max(t[t[id].rc].maxn,t[id].maxn);
}
 
void Modify(int id,int pos){
    if(t[id].l==t[id].r){
        t[id].maxn=pos;
        return;
    }
    int mid=(t[id].l+t[id].r)/2;
    if(pos<=mid){
        if(!t[id].lc){
            t[id].lc=++cnt;
            t[cnt].l=t[id].l; t[cnt].r=mid;
            t[cnt].lc=0; t[cnt].rc=0;
            t[cnt].maxn=-INF;
        }
        Modify(t[id].lc,pos);
    }
    else{
        if(!t[id].rc){
            t[id].rc=++cnt;
            t[cnt].l=mid+1; t[cnt].r=t[id].r;
            t[cnt].lc=0; t[cnt].rc=0;
            t[cnt].maxn=-INF;
        }
        Modify(t[id].rc,pos);
    }
    Push_up(id);
}
 
int Query(int id,int l,int r){
    if(l<=t[id].l && t[id].r<=r) return t[id].maxn;
    int mid=(t[id].l+t[id].r)/2;
    int ret=-1;
    if(t[id].lc && l<=mid) ret=max(ret,Query(t[id].lc,l,r));
    if(t[id].rc && r>=mid+1) ret=max(ret,Query(t[id].rc,l,r));
    return ret;
}
 
int n,m,p;
int ans,sum;
int in[4][N];
int dp[4][N];
int front[3][N],back[N];
int f[N],g[N];
 
signed main(){
    // freopen("1.in","r",stdin);
    cin>>n>>m>>p;
    t[1].maxn=-INF; t[1].l=0; t[1].r=p; t[1].lc=0; t[1].rc=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>in[i][j];
            sum+=in[i][j];
        }
    }
 
    for(int i=1;i<=2;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            front[i][j]=front[i][j-1]+in[i][j];
        }
    }
 
    if(m==1){
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+in[1][i])%p;
        cout<<ans%p<<"\n";
        return 0;
    }else if(m==2){
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans=max(ans,(front[1][i]+front[2][n]-front[2][i-1])%p);
        cout<<ans%p<<"\n";
        return 0;
    }else if(sum<p){
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+in[i][j];
            }
        }
        cout<<dp[m][n]<<"\n";
        return 0;
    }
 
    for(int i=n;i>=1;i--){
        back[i]=back[i+1]+in[3][i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=(front[1][i]-front[2][i-1])%p;
        g[i]=(front[2][i]+back[i])%p;
    }
 
    ans=0;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        Modify(1,g[i]);
        int ret;
        ret=Query(1,0,p-1-f[i]);
        if(ret!=-1) ans=max(ans,f[i]+ret);
        ret=Query(1,p-f[i],p-1);
        if(ret!=-1) ans=max(ans,(f[i]+ret)%p);
    }
    cout<<ans<<"\n";
}