裴蜀定理

在数论中，裴蜀等式（英语：Bézout's identity）或裴蜀定理（Bézout's lemma）（或称贝祖等式）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数 $a$ 和 $b$ 和 $m$ ，关于未知数 $x$ 和 $y$ 的线性丢番图方程（称为裴蜀定理） $a x + b y = m$ 有整数解时当且仅当 $m$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数 $d$ 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 $x$ 、 $y$ 都称为裴蜀数，可用扩展欧几里得算法求得。^[1]
特别的，当 $a$ 和 $b$ 互质时，裴蜀定理说明了存在整数 $x$ 和 $y$ 使得 $a x + b y = 1$ ，这是裴蜀定理的一个推论。^[1:1]

想要完整理解裴蜀定理，我们首先从最大公约数开始。

1. 辗转相除法

最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）是指能够整除给定整数集合中所有整数的最大的那个数。

设 $a$ 和 $b$ 是两个正整数， $a > b$ ，则 $a$ 和 $b$ 的最大公约数等于 $a$ 除以 $b$ 的余数 $r$ 和 $b$ 的最大公约数。即 $g c d (a, b) = g c d (b, r)$ 。

证明：

设 $a \div b = m \dots r$ ，则 $a = m b + r$ .设 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的一个最大公约数。

由于 $d$ 是 $a$ 的约数，得 $d$ 是 $m b + r$ 的约数，又 $d$ 是 $b$ 的约数，所以 $d$ 也是 $m b$ 的约数，即得 $d$ 是 $r$ 的约数。得 $d$ 是 $a$ 和 $r$ 的公约数。

由于 $b > r$ ， $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数，所以 $d$ 是 $b$ 和 $r$ 的最大公约数。

同理，对于 $b$ 和 $r$ ，我们可以找到 $b$ 和 $r$ 的最大公约数 $d^{'}$ ， $d^{'}$ 是 $b$ 和 $r$ 的最大公约数，所以 $d^{'}$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。

当如此循环往复，直到 $r = 0$ 时， $b$ 和 $r$ 的最大公约数就是 $b$ ，所以 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。

证明结束。

写成公式表示：

g c d (a, b) = {\begin{cases} a, & b = 0 \\ g c d (b, a mod b), & b \neq 0 \end{cases}

使用递归的方式实现：

int gcd(int a, int b) 
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

2. 扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是求解裴蜀等式的一种算法，它可以在 $O (\log n)$ 的时间复杂度内求解裴蜀等式的一组解。

前文已经提到，裴蜀等式 $a x + b y = m$ 有解时当且仅当 $m$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数 $d$ 的倍数。（公式表示： $a x + b y = k \cdot g c d (a, b), k \in Z$ ）

证明^[1:2]过程详见维基百科。

我们根据证明可以得到，若裴蜀等式 $a x + b y = m$ 有解，既 $a x + b y = k \cdot g c d (a, b), k \in Z$ 。

根据辗转相除法，我们可以得到：

g c d (a, b) = g c d (b, a mod b) = g c d (b, a - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ b)

(注：这里得符号 $mod$ 表示取模，而不是求余。但是在 C++ 中，% 表示的是求余，因此下面我们讨论的范围是 $[0, b)$ 。 )

展开裴蜀等式，在 $a, b \in [0, m a x (a, b))$ , 我们可以得到：

\begin{aligned} a x + b y & = k \cdot g c d (a, b) \\ b x^{(1)} + (a - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ b) y^{(1)} & = k \cdot g c d (b, a mod b) \\ \dots \end{aligned}

(注：这里 $x$ 和 $y$ 的上标表示第几次迭代的结果，而不是导数或者幂。)

当 $b \neq 0$ 时，根据前文的辗转相除法， $g c d (a, b) = g c d (b, a mod b)$ 。由此我们可以得到：

$\begin{array}{r} a x + b y = b x^{(1)} + (a - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ b) y^{(1)} \\ a x + b y = a y^{(1)} + b (x^{(1)} - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ y^{(1)}) \end{array}$
故得：

$\begin{aligned} x & = y^{(1)} \\ y & = x^{(1)} - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ y^{(1)} \end{aligned}$
继续计算，我们可以得到：

$\begin{aligned} x^{(1)} & = y^{(2)} \\ y^{(1)} & = x^{(2)} - ⌊ \frac{b}{a} ⌋ y^{(2)} \\ \dots \end{aligned}$
当 $b = 0$ 时，我们可以得到：

$\begin{aligned} a x + b y & = k \cdot g c d (a, b) \\ a x & = k \cdot g c d (a, 0) = k \cdot a \end{aligned}$
解得：

$x = k y = 0$

令上述递推式中的 $k = 1$ ，我们即可得到裴蜀等式的一组解。

// @param a, b: 两个正整数
// @param x, y: 一组解，利用引用带出递归函数
// @return: a 和 b 的最大公约数
int ExGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)  // 递归边界 b = 0
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    // 递归求解
    // 1. 计算 x1, y1
    int r = ExGcd(b, a % b, x, y); // 递归求解gcd(b, a % b)
    int x1 = x; // 保存 x1
    x = y; // 更新 x
    y = x1 - a / b * y; // 用y1和x1更新y
    return r;
}