[学习笔记] 博弈论
Nim 游戏
定义
有 \(n\) 堆石子, 每堆有 \(a_i\) 个石子, 每次从一堆中取任意个石子, 无法操作者败
结论
先手必胜的条件: \(\bigoplus_{i = 1}^n a_i \not = 0\),
SG 函数
定义
设一个局面为 \(A\), 它的后继状态集合为 \(E_A\), 则
其中 \(mex(E_A)\) 表示集合 \(E_A\) 中没有出现的最小非负整数.
性质
设两个相互独立的游戏为 \(A,B\), 游戏 \(A+B\) 为每次在 \(A\) 或 \(B\) 中进行一次操作的游戏, 则
其中 \(\oplus\) 表示二进制异或.
扩展
Anti 游戏
定义
无法操作的一方获胜
Anti-Nim
结论
先手必胜的条件:
- 石子的异或和 \(\not = 0\), 且存在一堆石子个数 \(> 1\).
- 石子的异或和 \(=0\), 且所有石子个数 \(\le 1\).
Anti 游戏
结论
设 \(A = A_1 + A_2 + \cdots + A_k\), 则先手必胜情况为
-
\(SG(A) \not = 0\), 且 \(\exists\ i, SG(A_i) > 1\).
-
\(SG(A) = 0\), 且 \(\forall\ i, SG(A_i) \le 1\).
成立条件: 在 \(\forall\ i, SG(A_i) = 0\) 时, 满足其下的任意一条
- \(\forall\ i\), \(A_i\) 没有出边 (直接结束游戏).
- \(\exists\ i\), \(A_i\) 能转移到 \(SG = 1\) 的情况 (转移到一个必败态).
Bash 博弈
定义
同 Nim游戏, 但每次取的石子不能超过一个常数 \(m\).
结论
\(SG(x) = x \bmod{(m + 1)}\). (\(x\) 为一堆中的石子个数).
证明
手玩打表即可
阶梯Nim游戏
定义
\(n\) 层阶梯上分别有 \(1\) 堆石子, 每次可以选择一堆中的任意个石子扔到下一层 (特殊的, 第一层的石子直接被扔出游戏), 无法操作者败.
结论
总游戏的 \(SG\) 函数为奇数层 \(SG\) 函数的异或和.
证明
感性理解. 若两人都只操作奇数层的石子, 则是一个 Nim 游戏. 若有一个人把偶数层的石子移到奇数层来了, 那么另一个人可以把这些石子移回偶数层, 游戏结果不发生改变.
威佐夫博弈 Wythoff Game
定义
有两堆石子, 每次可以从一堆中取任意个石子 或 从两堆中取出相同个数的石子, 不能操作者败
结论
结论一
把状态设为 \((x, y)\), 把所有 \(x < y\) 的 \(P\) 态按照 \(x\) 从小到大排序设为 \((a_i, b_i)\).
打表可以发现
- \(a_i\) 为 \(a_{1 \sim i-1}, b_{1\sim i-1}\) 中未出现过的非负整数
- \(b_i = a_i + i\)
结论二
如果令 \(\alpha = \frac{1 + \sqrt5}{2}, \beta = \frac{3 + \sqrt5}{2}\), 则 \((a_i, b_i) = (\lfloor\alpha i\rfloor, \lfloor\beta i\rfloor)\).
证明
结论一
反证法
结论二
可用 Betty 定理推导
翻硬币游戏
定义
结论
证明
删边游戏
树上删边游戏 一
定义
一棵有根树, 每次删除一条边及其子树部分, 不能操作者败.
结论
节点 \(u\) 的 \(SG\) 等于它所有子节点的 \(SG +1\) 的异或和. (叶节点的 \(SG = 0\))
证明
感性理解. 考虑一条链的情况, 就相当于一个 Nim游戏, 转移到父亲节点时 \(SG + 1\).
树上删边游戏 二
定义
同 树上删边游戏 一, 但树上挂了若干个环 (即有若干个从树上一个节点出发并回到该节点的环).
结论
长度为奇数的环 \(SG = 1\); 长度为偶数的环 \(SG = 0\).
证明
长度为奇数的环, 删了一条边后, 剩下两条链奇偶相同, 所以其异或和不可能为奇数, 所以 \(SG = 1\).
长度为偶数的环, 删了一条边后, 剩下两条链奇偶不同, 所以其异或和不可能为偶数, 所以 \(SG = 0\).
无向图删边游戏
定义
一个无向图, 每次删除一条边以及与根节点不连通的部分.
结论 (Fusion Principle)
将偶环替换成一个新点, 奇环替换成一个新点连出一条边, 原图中连向环的边全部连向新点, 图的 \(SG\) 值不会改变
推广
对于一个边双连通分量, 其 \(SG\) 只与其边数的奇偶性有关, 偶数则为 \(0\), 奇数则为 \(1\).
动态减法游戏
1-动态减法游戏
定义
结论
2-动态减法游戏
定义
结论
k-动态减法游戏
定义
结论
证明
扩展
证明
匹配在博弈中的应用
定义
一张无向图, 初始时有一个棋子在 \(s\) 点, 轮流将棋子移向一个之前没有到达过的点, 无法操作者败.
结论
先手必胜, 当且仅当 \(s\) 在该图的所有最大匹配中 (即删去 \(s\) 会使该图的最大匹配减小).
证明
充分性
假设一对匹配为 \((s, t)\), 先手将棋子移向 \(t\), 若后手能够将棋子移向一个非匹配点 \(x\), 则让 \(x\) 与 \(t\) 匹配不会减小该图匹配数, 即删去 \(s\) 后不会使该图的最大匹配减小, 与条件矛盾.
所以后手要么无法操作, 要么只能将棋子移向另一个匹配点 \(s'\), 而这种情况下先手一定能将棋子移到 \(t'\), 所以先手必胜.
必要性
反证法.
假设 \(s\) 不在该图的所有最大匹配中, 那么考虑一个 \(s\) 不为匹配点的最大匹配, 先手一定只能将棋子移向一个匹配点 \(s'\), 而这种情况下后手一定能将棋子移向 \(t'\), 所以后手必胜.
所以 \(s\) 一定在该图的所有最大匹配中.
Every-SG 游戏
定义
有若干个独立的游戏, 每次要移动所有可以移动的棋子, 不能操作者败.
解法
每个单独的游戏的结果已经确定了, 对最终结果有影响的就只有每个游戏结束的时间.
对于先手必胜的游戏, 我们希望它进行的时间可以尽量的长, 而对于先手必败的游戏, 我们希望它尽早结束, 这样我们才能确保最终的胜利.
所以计算出先手必胜的最长时间 和 先手必败的最短时间, 将两者进行比较即可.
题目
CF794E Choosing Carrot 手玩找规律
[HEOI2014]人人尽说江南好 结论: 最终堆数为 \(\lceil \frac{n}{m} \rceil\) 堆. (扩展: Alice 最多能堆 A 个石子, Bob 最多能堆 B 个石子)
[清华集训2016] Alice 和 Bob 又在玩游戏 加速运算 SG 函数.
还没做的题目
