[学习笔记] 泰勒展开
目的
用幂级数 (也就是 OI 中的 "多项式") 来近似地表示一个函数.
大致思路
假设我们需要表示出的函数为 \(g(x)\), 最后得到的多项式为 \(f(x)\).
容易得到, 若 \(f(x)\) 的任意阶导数都与 \(g(x)\) 的对应阶导数相等, 那么 \(f(x) \Leftrightarrow g(x)\)
所以我们在 \(g(x)\) 的定义域内取一个数 \(x_0\), 然后列出方程
\[\begin{aligned}
f(x_0) &= g(x_0) \\
f'(x_0) &= g'(x_0) \\
f''(x_0) &= g''(x_0) \\
&\ \ \vdots \\
f^{(n)}(x_0) &= g^{(n)}(x_0) \\
f^{(n+1)}(x_0) &= g^{(n+1)}(x_0) \\
&\ \ \vdots \\
\end{aligned}
\]
我们取前若干个方程, 解出 \(f(x)\) 的系数, 就可以近似地表示出 \(g(x)\) 了. 即
\[g(x) = f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \xi
\]
其中 \(\xi\) 为余项.
公式
若将 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 处进行泰勒展开, 则有
\[\begin{aligned}g(x) &= \frac{g(x_0)}{0!} + \frac{g^{(1)}(x_0)}{1!} (x - x_0) + \frac{g^{(2)}(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + \frac{g^{(3)}(x_0)}{3!} (x - x_0)^3 + \cdots + \frac{g^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + \xi \\&= \sum_{i \ge 0} \frac{g^{(i)}(x_0)}{i!}(x - x_0)^i\end{aligned}
\]
