「学习笔记」杜教筛
前置知识
杜教筛
概念
杜教筛用于解决数论函数 \(f(n)\) 的前缀和问题, 即求 :
\[S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)
\]
结论
对于任意数论函数 \(g(n)\) , 都有
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g\left(\frac{i}{d}\right)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)
\]
即
\[\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)
\]
\(PS.\) \((f*g)\) 表示函数 \(f(n)\) 与 \(g(n)\) 的 \(Dirichlet\) 卷积.
证明 :
\[\begin{align}
\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g\left(\frac{i}{d}\right)
&= \sum_{i=1}^{n}g(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}f(j) \\
&= \sum_{i=1}^{n}g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)
\end{align}
\]
得证.
用法
\[\begin{align}
&\because\
\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)
=g(1)S(n)+\sum_{i=2}^{n}g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right). \\
&\therefore\
g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right).
\end{align}
\]
后面那段可以用数论分块解决, 如果能快速求得 \(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\) , 即函数 \((f*g)(n)\) 的前缀和, 那么我们就可以不断递归地求出 \(S(n)\) , 并用 \(map\) 存下已经求得的值
在实际题目中, 我们会根据 \(f(n)\) 来确定 \(g(n)\) , 以快速地求出 \((f*g)(n)\) 的前缀和. \(g(n)\) 的选取可以参照下表.
\[\begin{align}
\varepsilon &= \mu *1 \\
ID &= \varphi * 1 \\
\varphi &= \mu * ID
\end{align}
\]
关于这些函数的意义详见 Dirichlet卷积 莫比乌斯函数 莫比乌斯反演 学习笔记
