前置知识
引理一
\[\forall a,b,c \in \mathbb{Z}, \lfloor\frac{a}{bc}\rfloor = \lfloor\frac{\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor}{c}\rfloor
\]
证明 :
设
\[\frac{a}{b}=\lfloor\frac{a}{b}\rfloor+r\ (0\le r <1)
\]
所以
\[\begin{align}
\lfloor\frac{a}{bc}\rfloor &=\lfloor\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{c}\rfloor \\
&=\lfloor\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\cdot\frac{1}{c}+r\cdot\frac{1}{c}\rfloor \\
&=\left\lfloor\frac{\lfloor{\frac{a}{b}\rfloor}}{c}\right\rfloor
\end{align}
\]
引理二
\[\forall n\in\mathbb{N},\ \left| \left\{ \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\mid d\in\mathbb{N}\right\} \right| \le \lfloor 2\sqrt n \rfloor
\]
略证 :
当 \(d\le \sqrt n\) 时, \(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\) 最多有 \(\sqrt n\) 个值,
当 \(d>\sqrt n\) 时, 每个 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\) 都对应一个小于 \(\sqrt n\) 的值, 所以也最多有 \(\sqrt n\) 个值,
故, \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\) 最多有 \(2\sqrt n\) 个值.
数论分块
概念
对于含有 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 的求和式子, 设集合 \(S = \left\{ i\mid \lfloor \frac{n}{i} \rfloor =d \right\}\), 用集合 \(S\) 中的最大值 \(j\) 来代替集合中的值.
结论
\[j=\left\lfloor\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \right\rfloor
\]
证明 :
\[\begin{align}
&\because \ \lfloor\frac{n}{i} \rfloor \le \frac{n}{i} \\
&\therefore \ \left\lfloor \frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor} \right\rfloor \ge \left\lfloor
\frac{n}{\frac{n}{i}} \right\rfloor = \lfloor i \rfloor = i \\
&\therefore \ i \le \left\lfloor \frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor} \right\rfloor
\end{align}
\]
数论函数
定义
定义域为 \(\mathbb{N_+}\) 的函数.
积性函数
定义
若 \(\forall x,y \in \mathbb{N_+}\) 且 \(\gcd(x,y)=1\) , 有 \(f(xy)=f(x)f(y)\), 则称数论函数 ** \(f(x)\) 为积性函数**.
性质
若 \(f(x),g(x)\) 为积性函数, 则以下函数也为积性函数.
\[h(x)=f(x^p)
\]
\[h(x)=f^p(x)
\]
\[h(x)=f(x)g(x)
\]
\[h(x)=\sum_{d|x} f(x)g(\frac{x}{d}) = \sum_{ij=x} f(i)g(j)
\]
证明 :
\[\begin{align}
h(x)h(y) &=\left( \sum_{ij=x} f(i)g(j)\right) \cdot \left( \sum_{ij=y}f(i)g(j) \right) \\
&=\sum_{ij=xy}f(i)g(j) \\
&=h(xy)
\end{align}
\]
\(PS.\) 第二个等号是因为 \(x,y\) 互质, 且 \(f,g\) 为积性函数.
例子
-
单位函数
\[\varepsilon (n)=[n=1]
\]
-
恒等函数 ( \(k\) 默认为 \(1\) )
\[id_k(n)=n^k
\]
-
常数函数
\[1(n)=1
\]
-
除数函数( \(k\) 默认为 \(1\) )
\[\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k
\]
-
欧拉函数
\[\varphi(n)=\sum_{i=1}^n \left[\gcd(i,n)==1\right]
\]
-
莫比乌斯函数
Dirichlet 卷积
定义
两个数论函数 \(f(n),g(n)\) 的 \(Dirichlet\) (狄利克雷) 卷积 \(h(n)\) 也同样为数论函数, 记为 \(h=f*g\).
\[h(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})
\]
性质
- 满足交换律和结合律.
- 单位函数 $\varepsilon $ 为 \(Dirichlet\) 卷积的单位元, 即对任意数论函数 \(f(n)\) , 都有 \(f*\varepsilon =f\).
例子
( \(1\) 为常数函数 \(1(n)=1\) )
\[\epsilon = \mu * 1 \Longleftrightarrow \epsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)
\]
- \(d(n)\) 为约数函数, 表示 \(n\) 的约数个数
\[d=1*1 \Longleftrightarrow \sum_{u|d}1
\]
\[\sigma = id*1 \Longleftrightarrow \sigma(n)=\sum_{d|n}d
\]
\[\varphi = \mu *id \Longleftrightarrow \varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}
\]
\[id=\varphi*1 \Longleftrightarrow n=\sum_{d|n}\varphi(d)
\]
莫比乌斯函数
定义
\[\mu(n) = \left\{
\begin{aligned}
&1, & n=1 \\
&0, & n含有平方因子 \\
&(-1)^k, & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k 为 n 的本质不同的质因子个数
\end{aligned}
\right.
\]
\(PS.\) 本质不同的质因子个数即为 质因子的种类个数.
性质
\[\begin{aligned}
\sum_{d|n} \mu(d)
&= \left\{
\begin{align}
&1, &n=1 \\
&0, &n\not=1
\end{align}
\right. \\
&= \varepsilon(n)
\end{aligned}
\]
证明 :
\[\begin{align}
设\ n\ 在算数基本定&理下表示为 p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_k^{c_k} \\
\sum_{d|n}\mu(d)
&= \sum_{i=0}^{k} C_k^i(-1)^i \\
&= [1+(-1)]^k \\
&= 0^k
\end{align}
\]
结论
\[[\gcd(i,j)=1]=\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)
\]
线性筛
void _mu(){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!v[i]){ pri[++pri[0]]=i; mu[i]=-1; } \\ pri 中存的是质数
for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=n;j++){
v[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
else{ mu[i*pri[j]]=0; break; }
}
}
}
莫比乌斯反演
公式
形式 1
\[若f(n)=\sum_{d|n}g(d),\ 则\ g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})
\]
形式 2（注意这里 \(\mu\) 和 \(f\) 的顺序不能反）
\[若 f(x)=\sum_{x|d}^n g(d),\ 则\ g(x)=\sum_{x|d}^n\mu\left(\frac{d}{x}\right)f(d)
\]
证明 :
\[\begin{align}
法一&: \\
&\because f=g*1, \\
&\therefore f*\mu=g*1*\mu=g*\varepsilon=g,\ 得证. \\
\\
法二&: \\
&
\begin{aligned}
\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})
&=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{t|\frac{n}{d}}g(t) \\
&=\sum_{t|n}g(t)\sum_{d|\frac{n}{t}}\mu(d) \\
&=\sum_{t|n}g(t)\left[\frac{n}{t}=1\right] \\
&=g(n)
\end{aligned}
\end{align}
\]
