「学习笔记」斯特林数

「学习笔记」斯特林数

第二类斯特林数

组合意义: 将 \(n\) 个有区别的小球放进 \(m\) 个无区别的盒子里,且没有空盒的方案数为第二类斯特林数, 记为 \(S(n,m)\).


递推式: \(S(n,m) = m*S(n-1,m) + S(n-1,m-1)\)
组合意义证明: 把一个新的小球放进盒子里, 可以选择放进 \(m\) 个盒子中的一个, 也可以放进一个新的盒子中.


计算公式: \(S(n,m) = \frac{1}{m!} \sum_{i=0}^{m} (-1)^i \binom{m}{i} (m-i)^n\)
理解: 容斥, 枚举哪几个盒子是空的, 用总方案数减去至少一个空盒, 加上至少两个空盒......., 最后再去除排列的重复度.


推论1 : 当 \(n<m\) 时, \(\sum_{i=0}^{m} (-1)^i \binom{m}{i} (m-i)^n = 0\).
组合意义证明: 当 \(n<m\) 时, 无论怎么放都会有空盒, 所以 \(S(n,m) = 0\), 因为 \(\frac{1}{m!} \ge 0\), 所以 \(\sum_{i=0}^{m} (-1)^i \binom{m}{i} (m-i)^n = 0\).


推论2 : \(\sum_{i=0}^{m} (-1)^i \binom{m}{i} (m-i)^m = m!\)
组合意义证明: \(S(m,m)=1\), 所以 \(\frac{1}{m!} \sum_{i=0}^{m} (-1)^i \binom{m}{i} (m-i)^n = 1\), 等式两边同乘一个 \(m!\) 即可