「学习笔记」欧拉回路

「学习笔记」欧拉回路

定义

设 \(G(V,E)\) 是一张图
欧拉回路 : 图 \(G\) 中经过每条边一次并且仅一次的回路.
欧拉路径 : 图 \(G\) 中经过每条边一次并且仅一次的路径.
欧拉图 : 存在欧拉回路的图.
半欧拉图 : 存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图.

定理与性质

以下的图中, 默认把孤立点删除, 因为这样不会影响原图是否为欧拉图.

定理1 : 无向图 \(G\) 为欧拉图, 当且仅当 \(G\) 为连通图且所有顶点的的度为偶数.
推论1 : 无向图 \(G\) 为半欧拉图, 当且仅当 \(G\) 为连通图, 且除了两个顶点的度为奇数外, 其他顶点的度为偶数.

定理2 : 有向图 \(G\) 为欧拉图, 当且仅当 \(G\) 为连通图且所有顶点的入度等于出度.
推论2 : 有线图 \(G\) 为半欧拉图, 当且仅当 \(G\) 为连通图, 且存在顶点 \(u\) 的出度比入度大 \(1\), 顶点 \(v\) 的入读比出度大 \(1\), 其他顶点的入度等于出度.

性质1 : 设 \(C\) 是欧拉图 \(G\) 的一个简单回路, 将 \(C\) 中的边从图 \(G\) 中删去得到一个新图 \(G'\), 则 \(G'\) 的每一个极大连通子图都存在一条欧拉回路.

性质2 :　设 \(C_1,C_2\) 是图 \(G\) 的两个没有公共边, 但有至少一个公共点的简单回路, 则可以将它们合并成一个新的简单回路 \(C'\).

求欧拉回路

过程

\(dfs\), 当一个点的所有边都被遍历过后, 将这个点加入答案的栈中, 最后从栈顶开始输出答案.

其实这个算法叫做 Hierholzer 算法, 它的想法是每次找出一条回路, 然后从图上删去这个回路, 再从回路上的每个节点开始去找新的回路, 找到新的回路后再把它和原来的回路合并. 根据上面的 性质1 和 性质2, 可以证明若图上存在一条欧拉回路, 这样一定能够找出来.

而上述的过程其实就相当于对整张图 \(dfs\) 一遍, 每次 \(dfs\) 到顶时就相当于找到了一条回路. 假设这条回路上存在一条边 \((u,v)\), 那么沿着 \((u,v')\) 继续 \(dfs\) 就相当于找一条新的回路. 一个点的所有边都被遍历过后再把这个点加入栈中, 就相当于合并若干个环.

代码

欧拉回路
这个板子相对麻烦一点, 因为它要同时处理有向图和无向图的情况, 并且要求输出边的方案.

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int _=1e5+7;
const int __=4e5+7;

int n,m,ty,st,de[_][2];
int lst[_],nxt[__],to[__],id[__],tot=1;
int ans[__],top;
bool ban[__];

int gi(){
	int x=0; char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9'){ x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar(); }
	return x;
}

void Add(int x,int y,int t,int ty){
	nxt[++tot]=lst[x]; to[tot]=y; id[tot]=t; lst[x]=tot;
	if(ty==1){ nxt[++tot]=lst[y]; to[tot]=x; id[tot]=-t; lst[y]=tot; }
}

void Init(){
	ty=gi(),n=gi(),m=gi();
	int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x=gi(),y=gi();
		Add(x,y,i,ty);
		if(ty==1) de[x][0]++,de[y][0]++;
		else de[x][1]++,de[y][0]++;
	}
}

void Dfs(int u,int t){
	while(lst[u]){
		int i=lst[u];
		if(ban[i]){ lst[u]=nxt[i]; continue; }           // 需要及时更新 lst, 否则会被卡到 m^2
		ban[i]=1;
		if(ty==1) ban[i^1]=1;
		lst[u]=nxt[i];
		Dfs(to[i],t+1);
		ans[++top]=id[i];
	}
}

void Run(){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(ty==1&&de[i][0]%2){ puts("NO"); return; }
		else if(ty==2&&de[i][0]!=de[i][1]){ puts("NO"); return; }
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(de[i][0]){ st=i; break; }
	Dfs(st,1);
	for(int i=2;i<=tot;i++)
		if(!ban[i]){ puts("NO"); return; }
	puts("YES");
	for(int i=m;i>=1;i--)
		printf("%d ",ans[i]);
	putchar('\n');
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("x.in","r",stdin);
	//freopen("x.out","w",stdout);
#endif
	Init();
	Run();
	return 0;
}