线性代数->行列式

一行列式的性质：

　　1.行列式某一行与另一行成比例则此行列式为0；（行列式某一行与另一行相等，则次行列式为0）。

　　2.行列式某一行为0则　　|aij|  　　= 0。

　　3. 行列式某一行的倍数加到另一行，则此行列式值不变。

二 几个特殊的行列式：

　　1.   aii != 0   aij =0 (i <j ，或者 i>j) 则次行列式的值为主角线上所有元素的乘积。

　　2.　　范德蒙德行列式

　　d　　= 1 ~~~~~~~1

　　　　　a1~~~~~~~an　　　　d = ∏（ai-aj） 1 <= j <= i <= n

　　　　　a1^(n-1)

 

三 行列式的展开

　　1 

　　n　　　　　　　　当 j = k 为 d(为行列式的值)

　　∑ 　　ajiAki   =    　　

　　i=1 　　　　　　　当 j != k 为 0

　　注意 一个小技巧

　　n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n　　n　　　　　　a11 - a1n  a12-a1n ~~~a1n-1 - a1n 1

　　∑ 　　Aji 　　　　可以认为所有aji = 1 然后带入行列式　　　　∑　　∑　　Aij  = 　　下面的形式同上

　　i = 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　i = 1　j = 1

 

四 克拉默法则

　　a11 x1 + ~~~~~a1n xn = b1     　　设d = 方程的系数行列式　　di  为 方程的第i列的系数 a1i a2i ~~ani变为 b1 ~~~bn 其余系数不变的行列式

　　an1 x1 + ~~~~~ann xn = bn　　　　　　xi = di 　　/ 　　d　　　　当 n元线性方程为 其次时 ，若d!= 0 则 方程只有零解。

五 拉普拉斯定理

　　在n级行列式M中任取 k行 按原序列组成一个 k级行列式 成为 该n级行列式的一个 k级子式 ，剩余的 n-k 按原序列排成的成为一个 K级余子式

 

　　拉普拉斯定理

　　n级行列式的 M任意取定的K行 由这K行组成的 所有 K级子式与其对应的K级代数余子式的乘积之和 为 行列式M