P3214 [HNOI2011]卡农

P3214 [HNOI2011]卡农

题意

在集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 中选出 $m$ 个非空子集满足：

1. 不存在完全相同的两个集合；
2. 每个元素在所有集合中出现次数之和为偶数。

思路

考虑转移，利用容斥方法进行 Dp。设 $f_i$ 表示选了 $i$ 个集合满足条件的方案数：

1. 首先，如果确定了前 $i-1$ 个集合，那么为了满足上面第二个限制这个位置选的集合一定是固定的。前 $i-1$ 个集合的选择方案数是 $A_{2^n-1}^{i-1}$。
2. 上面的方案中有选择了空集的方案。选择空集当且仅当前 $i-1$ 个集合已经是合法方案了，即有 $f_{i-1}$ 个是多计算的，减去即可。
3. 还有选择集合相同的方案数。考虑若有相同的集合那么去掉这两个集合剩下的也是合法的，即 $f_{i-2}$。有 $i-1$ 个位置和 $2^n-1-(i-2)$ 种取法（减去空集和不同的 $i-2$ 个集合），所以总共有 $f_{i-2}*(i-1)*(2^n-1-(i-2))$ 种，减去即可。

转移式为：

$$f_i=A_{2^n-1}^{i-1}-f_{i-1}-f_{i-2}*(i-1)*(2^n-1-(i-2))$$

边界条件为 $f_0=1$,$f_1=0$。

实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
	int w=0,x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=1e6+10,mod=1e8+7;
	int n,m,pow=1,A[maxn],f[maxn];
	inline int fpow(int a,int b){int ans=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;return ans;}
	inline void work(){
		n=read(),m=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) pow=(pow<<1)%mod; pow=(pow-1+mod)%mod;
		A[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++) A[i]=1ll*A[i-1]*((pow-i+1+mod)%mod)%mod;
		f[0]=1,f[1]=0;
		for(int i=2;i<=m;i++) f[i]=(A[i-1]-f[i-1]+mod-1ll*f[i-2]*(i-1)%mod*(pow-i+2+mod)%mod+mod)%mod;
		int res=1;
		for(int i=1;i<=m;i++) res=1ll*res*i%mod;
		printf("%lld\n",1ll*f[m]*fpow(res,mod-2)%mod);
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}

闲话

我搜了下，音阶的意思是从主音到主音的连续音符段，所以一个音阶是若干音符的集合（大概）

所以小余大概是把一个音符分成了一个音阶（