P3214 [HNOI2011]卡农
P3214 [HNOI2011]卡农
题意
在集合 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 中选出 \(m\) 个非空子集满足：
- 不存在完全相同的两个集合；
- 每个元素在所有集合中出现次数之和为偶数。
思路
考虑转移，利用容斥方法进行 Dp。设 \(f_i\) 表示选了 \(i\) 个集合满足条件的方案数：
- 首先，如果确定了前 \(i-1\) 个集合，那么为了满足上面第二个限制这个位置选的集合一定是固定的。前 \(i-1\) 个集合的选择方案数是 \(A_{2^n-1}^{i-1}\)。
- 上面的方案中有选择了空集的方案。选择空集当且仅当前 \(i-1\) 个集合已经是合法方案了，即有 \(f_{i-1}\) 个是多计算的，减去即可。
- 还有选择集合相同的方案数。考虑若有相同的集合那么去掉这两个集合剩下的也是合法的，即 \(f_{i-2}\)。有 \(i-1\) 个位置和 \(2^n-1-(i-2)\) 种取法（减去空集和不同的 \(i-2\) 个集合），所以总共有 \(f_{i-2}*(i-1)*(2^n-1-(i-2))\) 种，减去即可。
转移式为：
\[f_i=A_{2^n-1}^{i-1}-f_{i-1}-f_{i-2}*(i-1)*(2^n-1-(i-2))
\]
边界条件为 \(f_0=1\),\(f_1=0\)。
实现
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=1e6+10,mod=1e8+7;
int n,m,pow=1,A[maxn],f[maxn];
inline int fpow(int a,int b){int ans=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;return ans;}
inline void work(){
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) pow=(pow<<1)%mod; pow=(pow-1+mod)%mod;
A[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++) A[i]=1ll*A[i-1]*((pow-i+1+mod)%mod)%mod;
f[0]=1,f[1]=0;
for(int i=2;i<=m;i++) f[i]=(A[i-1]-f[i-1]+mod-1ll*f[i-2]*(i-1)%mod*(pow-i+2+mod)%mod+mod)%mod;
int res=1;
for(int i=1;i<=m;i++) res=1ll*res*i%mod;
printf("%lld\n",1ll*f[m]*fpow(res,mod-2)%mod);
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}
闲话
我搜了下，音阶的意思是从主音到主音的连续音符段，所以一个音阶是若干音符的集合（大概）
所以小余大概是把一个音符分成了一个音阶（
