动态逆序对专练
动态逆序对专练
就是三倍经验
题意
维护一个序列，每次修改后求出当前序列逆序对个数。
思路
题目让我们求出
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n[a_i>a_j]
\]
也就是让我们求出满足
\[pos_i<pos_j\&\&a_i>a_j
\]
的点对数量。
对于不修改的情况，这显然是一个三维偏序问题，用树状数组或归并处理都可以。
对于修改的情况，我们可以用CDQ分治离线解决，或者使用树套树在线处理。
我这么懒当然是用树套树啦~
树状数组套值域线段树
思想
树状数组维护序列，值域线段树维护值域。
优点是可以写成非递归式查询，常数相对较小。
缺点是即使是动态开点空间消耗仍然很大。
实现
具体实现是每个树状数组节点开一棵线段树。修改时修改所有树状数组上包括的线段树，查询时类似。
void update(int &ro,int l,int r,int x,int k){//l和r是当前值域区间，x为位置
if(!ro) ro=++tot;
val[ro]+=k;
if(l==r)return;
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid)update(ls[ro],l,mid,x,k);
else update(rs[ro],mid+1,r,x,k);
}
墙裂安利非递归式线段树查询
inline long long query(int l,int r,int x,int type){
int cnta=0,cntb=0;
long long ans=0;
for(int i=l-1;i;i-=i&-i) qa[++cnta]=rt[i];//树状数组查询方法：差分
for(int i=r;i;i-=i&-i) qb[++cntb]=rt[i];//先将所有要处理的树状数组上的线段树全部记录，然后一起查询
l=1,r=n;
while(l<r){
int mid=l+r>>1;
if(x>mid){
if(type){//type表示查询的类型，按照正常线段树查询的思路处理即可。这里type=1表示查左边
for(int i=1;i<=cnta;i++) ans-=val[ls[qa[i]]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) ans+=val[ls[qb[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnta;i++) qa[i]=rs[qa[i]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) qb[i]=rs[qb[i]];
l=mid+1;
}else{
if(!type){
for(int i=1;i<=cnta;i++) ans-=val[rs[qa[i]]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) ans+=val[rs[qb[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnta;i++) qa[i]=ls[qa[i]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) qb[i]=ls[qb[i]];
r=mid;
}
}
return ans;
}
P3157 [CQOI2011]动态逆序对
给你一个排列，每次删除一个位置上的数，求每次操作后的逆序对数。
思路
插入原序列之后得到原序列答案，每次删除一个数 \(x\) 查询 \(pos_i<x\) 、\(a_i>a_x\) 和 \(pos_i>x\) 、\(a_i<a_x\) 的答案并用之前的答案减去，然后删除它的影响。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=1e5+10,maxm=3e7+10;
int n,m,a[maxn],ls[maxm],rs[maxm],tot,rt[maxn],val[maxm];
void update(int &ro,int l,int r,int x,int k){
if(!ro) ro=++tot;
val[ro]+=k;
if(l==r)return;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) update(ls[ro],l,mid,x,k);
else update(rs[ro],mid+1,r,x,k);
}
int qa[maxn],qb[maxn];
long long ans;
inline long long query(int l,int r,int x,int type){
int cnta=0,cntb=0;
long long ans=0;
for(int i=l-1;i;i-=i&-i) qa[++cnta]=rt[i];
for(int i=r;i;i-=i&-i) qb[++cntb]=rt[i];
l=1,r=n;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(x>mid){
if(type){
for(int i=1;i<=cnta;i++)ans-=val[ls[qa[i]]];
for(int i=1;i<=cntb;i++)ans+=val[ls[qb[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnta;i++)qa[i]=rs[qa[i]];
for(int i=1;i<=cntb;i++)qb[i]=rs[qb[i]];
l=mid+1;
}else{
if(!type){
for(int i=1;i<=cnta;i++)ans-=val[rs[qa[i]]];
for(int i=1;i<=cntb;i++)ans+=val[rs[qb[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnta;i++)qa[i]=ls[qa[i]];
for(int i=1;i<=cntb;i++)qb[i]=ls[qb[i]];
r=mid;
}
}
return ans;
}
int pos[maxn];
inline void work(){
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) {
ans+=query(1,i-1,a[i]=read(),0);pos[a[i]]=i;
for(int x=i;x<=n;x+=x&-x) update(rt[x],1,n,a[i],1);
}
printf("%lld\n",ans);
while(--m){
int x=read();
ans-=query(1,pos[x]-1,x,0)+query(pos[x]+1,n,x,1);
printf("%lld\n",ans);
for(int j=pos[x];j<=n;j+=j&-j) update(rt[j],1,n,x,-1);
}
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}
CF785E Anton and Permutation
给你一个原序列为递增排列的序列，每次交换两个位置上的数，求每次操作后的逆序对数。
思路
相对于上一题，并非删除而是交换两个位置上的数，实际上就是在原位置删除两个数然后在彼此的位置又加上这两个数。
这里我先减去影响然后更新再加上影响，最后单独讨论一下这两个数之间互换对答案的贡献。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=2e5+1,maxm=3e7+1;
int n,Q,a[maxn],rt[maxn];
long long ans;
int ls[maxm],rs[maxm],tot,val[maxm];
void update(int &ro,int l,int r,int x,int k){
if(!ro) ro=++tot;
val[ro]+=k;
if(l==r)return;
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid)update(ls[ro],l,mid,x,k);
else update(rs[ro],mid+1,r,x,k);
}
int qa[maxn],qb[maxn];
inline long long query(int l,int r,int x,int type){
int cnta=0,cntb=0;
long long ans=0;
for(int i=l-1;i;i-=i&-i) qa[++cnta]=rt[i];
for(int i=r;i;i-=i&-i) qb[++cntb]=rt[i];
l=1,r=n;
while(l<r){
int mid=l+r>>1;
if(x>mid){
if(type){
for(int i=1;i<=cnta;i++) ans-=val[ls[qa[i]]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) ans+=val[ls[qb[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnta;i++) qa[i]=rs[qa[i]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) qb[i]=rs[qb[i]];
l=mid+1;
}else{
if(!type){
for(int i=1;i<=cnta;i++) ans-=val[rs[qa[i]]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) ans+=val[rs[qb[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnta;i++) qa[i]=ls[qa[i]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) qb[i]=ls[qb[i]];
r=mid;
}
}
return ans;
}
inline void work(){
n=read(),Q=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=i;
for(int j=i;j<=n;j+=j&-j) update(rt[j],1,n,a[i],1);
}
while(Q--){
int x=read(),y=read();
if(x==y){
printf("%lld\n",ans);continue;
}
if(x>y)swap(x,y);
ans=ans-query(1,x-1,a[x],0)-query(x+1,n,a[x],1)-query(1,y-1,a[y],0)-query(y+1,n,a[y],1);
for(int i=x;i<=n;i+=i&-i) update(rt[i],1,n,a[x],-1),update(rt[i],1,n,a[y],1);
for(int i=y;i<=n;i+=i&-i) update(rt[i],1,n,a[x],1),update(rt[i],1,n,a[y],-1);
swap(a[x],a[y]);
ans=ans+query(1,x-1,a[x],0)+query(x+1,n,a[x],1)+query(1,y-1,a[y],0)+query(y+1,n,a[y],1);
ans+=(a[x]<a[y]?1:-1);
printf("%lld\n",ans);
}
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}
P1975 [国家集训队]排队
给你一个序列，每次交换两个位置上的数，求每次操作后逆序对数。
思路
给上面的代码加个离散化XD
后面单独讨论两个数的贡献时有一点区别。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=2e4+1,maxm=3e6+1;
int n,Q,a[maxn],cnt,b[maxn],rt[maxn];
long long ans;
int ls[maxm],rs[maxm],tot,val[maxm];
void update(int &ro,int l,int r,int x,int k){
if(!ro) ro=++tot;
val[ro]+=k;
if(l==r)return;
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid)update(ls[ro],l,mid,x,k);
else update(rs[ro],mid+1,r,x,k);
}
int qa[maxn],qb[maxn];
inline long long query(int l,int r,int x,int type){
int cnta=0,cntb=0;
long long ans=0;
for(int i=l-1;i;i-=i&-i) qa[++cnta]=rt[i];
for(int i=r;i;i-=i&-i) qb[++cntb]=rt[i];
l=1,r=n;
while(l<r){
int mid=l+r>>1;
if(x>mid){
if(type){
for(int i=1;i<=cnta;i++) ans-=val[ls[qa[i]]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) ans+=val[ls[qb[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnta;i++) qa[i]=rs[qa[i]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) qb[i]=rs[qb[i]];
l=mid+1;
}else{
if(!type){
for(int i=1;i<=cnta;i++) ans-=val[rs[qa[i]]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) ans+=val[rs[qb[i]]];
}
for(int i=1;i<=cnta;i++) qa[i]=ls[qa[i]];
for(int i=1;i<=cntb;i++) qb[i]=ls[qb[i]];
r=mid;
}
}
return ans;
}
inline void work(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=b[i]=read();
sort(b+1,b+1+n);
cnt=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+1+cnt,a[i])-b;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans+=query(1,i-1,a[i],0);
for(int j=i;j<=n;j+=j&-j) update(rt[j],1,n,a[i],1);
}
printf("%lld\n",ans);
Q=read();
while(Q--){
int x=read(),y=read();
if(x==y){
printf("%lld\n",ans);continue;
}
if(x>y)swap(x,y);
ans=ans-query(1,x-1,a[x],0)-query(x+1,n,a[x],1)-query(1,y-1,a[y],0)-query(y+1,n,a[y],1);
for(int i=x;i<=n;i+=i&-i) update(rt[i],1,n,a[x],-1),update(rt[i],1,n,a[y],1);
for(int i=y;i<=n;i+=i&-i) update(rt[i],1,n,a[x],1),update(rt[i],1,n,a[y],-1);
swap(a[x],a[y]);
ans=ans+query(1,x-1,a[x],0)+query(x+1,n,a[x],1)+query(1,y-1,a[y],0)+query(y+1,n,a[y],1);
if(a[x]<a[y]) ans+=1;
else if(a[x]>a[y]) ans-=1;
printf("%lld\n",ans);
}
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}
复制了三遍代码显得很长的雅子
对于后两个题更简单并且更优秀的分块解法，我不会因为没有普适性所以我们不学，嗯嗯。
