Guass消元总结

Guass消元

约旦·高斯消元法 求线性方程组

我们用一个$n*(n+1)$的矩阵存储线性方程组各项系数和零次项系数。

1. 每一次找到一个未知数系数最大的方程，交换当前行方程和该方程，并将其他行该未知数的系数化为零。
2. 重复n次即可。
3. 最后第$a[i][i]$个数就是第i个未知数的系数，$a[i][n+1]$是等式右侧的数，用后者除以前者即可。

• 当化第i个方程时，若找到所有方程的最大值为零，即都为零，则无解。
• 当一个未知数在多于0个少于n个方程中有系数，该未知数为自由元，线性方程组有无数组解。

洛谷P3389

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,w=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=105;
	double a[maxn][maxn];
	int n;
	inline void work(){
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n+1;j++)a[i][j]=(double)read();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int mx=i;
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
				if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i]))mx=j;
			swap(a[i],a[mx]);
			if(!a[i][i])return (void)puts("No Solution");
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(j==i)continue;
				double tmp=a[j][i]/a[i][i];
				for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
					a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.2lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}

让我们再做一道不那么板子的题目：

P4035 球形空间产生器

简述题意，我们需要求一个n维向量$(x_1,x_2,\dots,x_n)$使得对于每个i都满足$\sum_{j=1}^{n}(a_{i,j}-x_j)^2=dis$,

其中$dis$为未知常数。

所以我们考虑消去这个$dis$:

我们将相邻的i的方程做差得到：

$$\sum_{j=1}^{n}a_{i+1,j}^2-a_{i,j}^{2}-2x_j(a_{i+1,j}-a_{i,j})=0$$

然后将常数项与未知数剥离：

$$\sum_{j=1}^{n}2x_j(a_{a+1,j}-a_{i,j})=\sum_{j=1}^na_{i+1,j}^2-a_{i,j}^2$$

解线性方程组即可。

题目给定有解。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=12;
double b[maxn][maxn],a[maxn][maxn];
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&b[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=(b[i][j]-b[i+1][j])*2;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][n+1]+=b[i][j]*b[i][j]-b[i+1][j]*b[i+1][j];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int mx=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i]))mx=j;
		swap(a[mx],a[i]);
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j==i)continue;
			double tmp=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
				a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.3lf ",a[i][n+1]/a[i][i]);
	return 0;
}

求行列式的值

依据行列式的性质，我们用高斯消元将行列式转变为下三角矩阵，行列式的值就为对角线上各数的积。

• 当行列式其中两行成比例时行列式值为零。所以我们在高斯消元的时候发现只要有一列找不到有值的数就是这种情况，直接返回0即可。
• 一般来说，求行列式有可能加模数或者行列式值很大，我们在除的时候用逆元搞就行了。

inline int Guass(int *a){
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int pos=0;
        for(int j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){pos=j;break;}
        if(!pos)return 0;
        if(pos!=i)swap(a[pos],a[i]);
        int inv=fpow(a[i][i],mod-2,mod);//快速幂
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(a[j][i]){
                ans=ans*inv%mod;
                for(int k=i+1;k<=n;k++)
                    a[j][k]=((a[j][k]*a[i][i]%mod-a[i][k]*a[j][i]%mod)%mod+mod)%mod;
                a[j][i]=0;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=ans*a[i][i]%mod;
    return ans;
}

求逆矩阵

根据rsk大佬的课，我们可以知道矩阵求逆有一个方法是：

1. 给原矩阵右边接一个等大的单位矩阵。
2. 高斯消元，将原矩阵转为单位矩阵。
3. 右侧矩阵即为所求。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,w=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=405,mod=1e9+7;
	int n,a[maxn][maxn<<1];
	inline int fpow(int a,int b){
		int ans=1;
		for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)ans=ans*a%mod;
		return ans;
	}
	inline void work(){
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++)a[i][j]=read();
			a[i][n+i]=1;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int mx=i;
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
				if(a[mx][i]<a[j][i])mx=j;
			swap(a[mx],a[i]);
			if(!a[i][i])return (void)puts("No Solution");
			int inv=fpow(a[i][i],mod-2);
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(j==i)continue;
				for(int tmp=a[j][i]*inv%mod,k=1;k<=n*2;k++)//k可以从i+1开始，不会更新下三角
					a[j][k]=(a[j][k]-a[i][k]*tmp%mod+mod)%mod;
			}
		}
		
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int tmp=fpow(a[i][i],mod-2),j=1;j<=n;j++)
				printf("%lld ",a[i][j+n]*tmp%mod);
			puts("");
		}
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}