P4774-屠龙勇士-扩展中国剩余定理

屠龙勇士

很久很久以前，巨龙突然出现，带来了灾难带走公主又消失不见。王国十分危险，世间谁最勇敢，一位英雄出现……

学习于该大佬博客

那么你就是这位英雄，不过不同的是，你面对的是一群巨龙，虽然巨龙都不会攻击；你每次使用的剑一打就爆，虽然每打死一条巨龙的奖励是一把新的剑；巨龙不会因为生命值降为负数而死亡，虽然巨龙会憨憨地回血然后把自己奶死；最重要的是你完成游戏不会获得公主的爱，只会获得参加ION8012的报名机会。你一听到最后一条彻底就失去了兴致，于是写了一个机器人帮你完成任务XD

简单来说，就是求解同余方程组：

\[k_ix\equiv a_i(mod p_i) \]

其中i为巨龙个数1-n。
然鹅，你会惊讶地发现，如果用扩展中国剩余定理的话，我们只能求解出左项x的系数为1的式子。这对于身经百战的你当然不是问题，一下子就想到了将\(k_i\)化掉的好方法：
原式可化为：

\[k_ix + p_iy\equiv a_i \]

用设\(g=gcd(k_i,p_i)\)，那么用扩展欧几里得求出\(x'\)（一组解），原式可化为

\[x\equiv \frac{a_i}{g}x′(mod\frac {p_i}{g}​) \]

然后我们就化成了系数为1的情况。我们就可以解辣♪(^∇*)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<set>
#define int long long 
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,w=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=1e5+100;
	multiset<int >sword;
	multiset<int >::iterator it;
	int a[maxn],p[maxn],sw[maxn],n,m;
	inline void init(){
		memset(a,0,sizeof a);
		memset(p,0,sizeof p);
		memset(sw,0,sizeof sw);
		sword.clear();
		n=read(),m=read();
		for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++)sw[i]=read();
		while(m--)sword.insert(read());
	}
	void exgcd(int a,int b,int& d,int &x,int &y){
		if(!b)d=a,x=1,y=0;
		else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
	}
	inline int mul(int b,int k,int m){
	int a=0;
	for(;k;k>>=1,b=(b<<1)%m)
		if(k&1)a=(a+b)%m;
	return a;
        }//龟速乘，防止溢出
	inline int getsword(int i){
		it=sword.upper_bound(a[i]);
		if(it!=sword.begin())--it;
		int zp=*it;
		sword.erase(it);sword.insert(sw[i]);
		return zp;
	}
	inline void excrt(){
		int X,Y,k;
		int m=1,ans=0,mx=0,G;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			k=getsword(i);
			mx=max(mx,(a[i]-1)/k+1);
			k%=p[i];a[i]%=p[i];
			if(!k&&a[i]){puts("-1");return;}//无解
			if(!k&&!a[i])continue;//说明此同余方程没有作用，必须跳过
			exgcd(k,p[i],G,X,Y);
			if(a[i]%G){puts("-1");return;}
			p[i]/=G;
			a[i]=mul(a[i]/G,(X%p[i]+p[i])%p[i],p[i]);
			exgcd(m,p[i],G,X,Y);
			if((a[i]-ans)%G){puts("-1");return;}
			m=m/G*p[i];
			ans=(ans+mul(mul(m/p[i],((a[i]-ans)%m+m)%m,m),(X%m+m)%m,m))%m;
		}
		printf("%lld\n",ans>=mx?ans:ans+m*((mx-ans-1)/m+1));
	}
	inline void work(){
		init();
		excrt();
	}
}
signed main()
{
	int t=read();
	while(t--)star::work();
	return 0;
}