倍增算法

树上倍增

倍增算法就是通过倍增快速查找的算法。它在树的问题上比树链剖分处理得要快而且简单。

它的核心公式就是fa[x][j]=fa[fa[x][j-1]][j-1] / fa[x][j+1]=fa[fa[x][j]][j].为了更好地理解这个公式，我打了以下表格：

	0	1	2	3
1	0	0	0	0
2	1(1+2^0)	0	0	0
3	2	1(1+2^1)	0	0
4	3	2	0	0
5	4	3	1(1+2^2)	0
6	5	4	2	0
7	6	5	3	0
8	7	6	4	0
9	8	7	5	1(1+2^3)

看得出来，横行表示的是2的幂数，也就是fa[x][j]中的j。

将j和x颠倒似乎能优化。

那么每次dfs一个点的时候，我们先记录fa[x][0]为该点的直接父亲，然后将它初始化：

for (register int i=0;fa[x][i];++i) fa[x][i+1]=fa[fa[x][i]][i];

若要求两点的LCA，首先要记录它们的深度，然后倍增：

inline int LCA(int u,int v)
{
    if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
    for(R int i=0;i<=16;i++)
        if((dep[u]-dep[v])&(1<<i))u=fa[u][i];
    if(u==v)return u;
    for(R int i=16;i>=0;i--)
        if(fa[u][i]!=fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];
    return fa[u][0];
 } 

毕竟，指数爆炸可是很快的。这是一个清清楚楚的logn的复杂度。