数学 - 随笔分类 - Star_Cried

P3643 [APIO2016]划艇

摘要：P3643 [APIO2016]划艇题意一个合法序列可表示为一个长度为

n

$n$ 的序列，其中第

i

$i$ 个数可以为 0 或

[l_{i}, r_{i}]

$[l_i,r_i]$ 中一个整数，且满足所有不为零的数组成的子序列严格上升。求合法序列方案数。思路朴素动态规划做法为，设

f_{i j}

$f_{ij}$ 表示第 \ 阅读全文

posted @ 2021-02-22 13:16 Star_Cried 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5591 小猪佩奇学数学

摘要：P5591 小猪佩奇学数学知识点二项式定理

(x + 1)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i}

$(x+1)^n=\sum_{i=0}^n\binom nix^i$ 单位根反演

[n ∣ k] = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} ω_{n}^{i k}

$[n\mid k]=\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}$ 证明： \[ [n\mid k]=\begin{cas 阅读全文

posted @ 2021-02-19 14:16 Star_Cried 阅读(90) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3312 数表

摘要：P3312 数表题意求出

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} σ (gcd (i, j)) [σ (gcd (i, j)) \leq a]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(\gcd(i,j))[\sigma(\gcd(i,j))\le a]$ 其中

σ

$\sigma$ 表示约数和。思路/推导考虑没有

a

$a$ 的限制的情况。 \[ \begin{aligned 阅读全文

posted @ 2021-02-02 08:27 Star_Cried 阅读(73) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性筛

摘要：线性筛闲话之前写的总结不忍直视（总结了个寂寞），今天突然要用到约数和结果不会筛，于是爬来写博客。性质时间复杂度线性理论上所有积性函数都可以筛（推式子）用法对于需要筛的积性函数，我们需要讨论三种数时它的取值或者转移。当

i

$i$ 为素数时，此时函数的值一般可以快速得到；当 \(i\ 阅读全文

posted @ 2021-02-02 08:25 Star_Cried 阅读(239) 评论(1) 推荐(0) 编辑

P3214 [HNOI2011]卡农

摘要：P3214 [HNOI2011]卡农题意在集合

{1, 2, \dots, n}

$\{1,2,\cdots,n\}$ 中选出

m

$m$ 个非空子集满足：不存在完全相同的两个集合；每个元素在所有集合中出现次数之和为偶数。思路考虑转移，利用容斥方法进行 Dp。设

f_{i}

$f_i$ 表示选了

i

$i$ 个集合满足条件的阅读全文

posted @ 2021-01-30 16:43 Star_Cried 阅读(72) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二项式反演

摘要：二项式反演常用结论 \[ g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni f_i\Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni g_i\\ g_n=\sum_{i=0}^n\binom ni f_i\Leftrightarrow g_ 阅读全文

posted @ 2021-01-30 15:27 Star_Cried 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

类欧几里得算法

摘要：类欧几里得算法类欧几里得算法之所以被称为类欧几里得是因为其算法复杂度证明与扩展欧几里得算法类似。我认为类欧更偏向于是一种思想。其主要思想就是寻找可以简便计算的边界，然后通过化式子将不同情况化为边界递归计算。 P5170 【模板】类欧几里得算法推导 \[ f(a,b,c,n)=\sum_{i= 阅读全文

posted @ 2021-01-27 00:56 Star_Cried 阅读(778) 评论(0) 推荐(1) 编辑

P4827 [国家集训队] Crash 的文明世界

摘要：P4827 [国家集训队] Crash 的文明世界题意求出对于树上每个点

x

$x$ 的

\sum_{u = 1}^{n} d i s (x, u)^{k}

$\sum_{u=1}^ndis(x,u)^k$ 。所有边长为 1。思路根据斯特林反演： \[ m^n=\sum_{j=0}^n

{\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}}

$\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}$ C_m^ 阅读全文

posted @ 2021-01-22 20:57 Star_Cried 阅读(78) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1166E The LCMs Must be Large

摘要：CF1166E The LCMs Must be Large 思维好题，结论好题。题意一个长度为

n

$n$ 的未知长度的序列，有

m

$m$ 个限制，每个限制形如给定一个集合

S

$S$ ，使集合内元素的

l c m

$lcm$ 严格大于其补集元素的

l c m

$lcm$ 。问是否存在这一序列。思路要注阅读全文

posted @ 2020-11-16 09:28 Star_Cried 阅读(108) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5110 块速递推-光速幂、斐波那契数列通项

摘要：P5110 块速递推题意多次询问，求数列

a_{i} = {\begin{cases} 233 a_{i - 1} + 666 a_{i - 2} & i > 1 \\ 0 & i = 0 \\ 1 & i = 1 \end{cases}

$a_i=\begin{cases}233a_{i-1}+666a_{i-2} & i>1\\ 0 & i=0\\ 1 & i=1\\ \end{cases}$ 的第

n

$n$ 项在

\mod 1 e 9 + 7

$\mod 1e9+7$ 意义下的值的异或和。思路首阅读全文

posted @ 2020-11-13 21:35 Star_Cried 阅读(134) 评论(0) 推荐(0) 编辑

斐波那契数列相关

摘要：斐波那契数列

F (0) = F (1) = 1

$F(0)=F(1)=1$ 或

F (1) = F (2) = 1

$F(1)=F(2)=1$ ，

F (i) = F (i - 1) + F (i - 2)

$F(i)=F(i-1)+F(i-2)$ . 广义斐波那契数列在转移时有系数且首两项给定。求法注意到斐波那契数列的转移为一个矩阵乘 \[

\begin{matrix} F (i) & F (i - 1) \end{matrix}

$\begin{matrix}F(i)&F(i-1)\end{matrix}$ \ \ \ 阅读全文

posted @ 2020-09-29 11:04 Star_Cried 阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

GCD SUM

摘要：GCD SUM 求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} gcd (i, j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)$ 将原式变换得到 \[ \sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} 阅读全文

posted @ 2020-09-27 14:29 Star_Cried 阅读(90) 评论(0) 推荐(0) 编辑

扩展欧拉定理

摘要：扩展欧拉定理首先，欧拉定理为

若 a 与 m 互 质 ， 则 有 a^{φ (m)} \equiv 1 (\mod m)

$若a与m互质，则有 a^{\varphi(m)}\equiv1(\mod m)$ 我们可以发现费马小定理其实就是欧拉定理的特殊情况。证明的话，构造一个与

m

$m$ 互质的数列操作，利用剩余系证明扩展欧拉定理为 \[ a^b\equiv \begin{cas 阅读全文

posted @ 2020-09-25 15:58 Star_Cried 阅读(279) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P1447能量采集

摘要：P1447能量采集定义:(i,j)表示处于(i,j)的植物的贡献我们发现，点(i,j)与(0,0)的连线所过整点的数目为

gcd (i, j)

$\gcd(i,j)$ 发现要是想记录每个点的答案并不好算。那么怎么好算呢？我们来找一找同一直线上的所有点答案的和的关系。先不考虑答案只考虑个数。发现，寻找一个点及其倍数的个阅读全文

posted @ 2020-08-21 22:26 Star_Cried 阅读(132) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5147-数学-随机数生成器

摘要：P5147-数学-随机数生成器（洛谷第一篇题解说这是高一数学题，新高二感觉到被吊打）我们设work(x)的期望值为

f_{x}

$f_x$ 注意

f_{1}

$f_1$ 是边界。不过对下列式子没有影响。原因参照必修的数列那么

\displaystyle f_n=1+\frac{1}\sum_^f_i

$\displaystyle f_n=1+\frac{1}\sum_^f_i$ 移项得到$\disp 阅读全文

posted @ 2020-08-13 10:50 Star_Cried 阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

离散数学-传递闭包（POJ3275）

摘要：就是n的元素给定m个关系求他们之间的关系。 eg. ∵a>b and b>c ∴a>c emmmm 若要知道n个元素的绝对关系，则需知道C(n,2)个关系。例题：POJ3275 求法：Floyd。关系如下： if(g[i][k] and g[k][j]) g[i][j]=1; 但是呢，对于这个题的阅读全文

posted @ 2020-07-16 11:29 Star_Cried 阅读(1038) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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